Question

18．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，6），（-2，0），顶点C在x轴的正半轴上，△ABC的高BD交线段OA于点E，E点坐标为（0，1），且D点恰在AB的垂直平分线上．
（1）求D点坐标；
（2）动点P从点O出发沿线段OA以每秒1个单位的速度向终点A运动，动点Q从C出发沿折线C-O-y轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，且P点到达A处时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，是否存在t值，使得△BPQ是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先在直角△ABO中利用勾股定理求得AB的长，然后根据△ABO是等腰直角三角形求得AD和BD的长，作DF⊥BC于F，根据△BOE∽△BDF求得DF和OF的长，则D的坐标即可求得；
（2）首先利用待定系数法求得AD的解析式，则C的坐标即可求得，然后分成Q在线段OC上和在y轴的负半轴两种情况讨论，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分成对称轴是x轴和y轴两种情况进行讨论，然后根据对称点到对称轴的距离相等即可列方程求解．

解答 解：（1）∵A、B的坐标分别为（0，6），（-2，0），
∴OA=6，OB=2，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
又∵D在AB的垂直平分线上，AD⊥AC，
∴AD=BD=AB×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{5}$．
在直角△OBE中，BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
如图1，作DF⊥BC于F，
∵BD⊥AC，AO⊥BC，
∴△BOE∽△BDF，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{OE}{DF}=\frac{OB}{BF}$，即$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{DF}=\frac{2}{BF}$，
∴DF=2，BF=4，即OF=2，
∴D的坐标是（2，2）；
（2）设直线AD的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=-2}\end{array}\right.$，
则直线AD的解析式是y=-2x+6，
令y=0，解得x=3，
则C的坐标是（3，0）．
当0≤t≤$\frac{3}{4}$时，Q在线段OC上，则PB=5-4t，OP=t，
则S=$\frac{1}{2}$PB•OP=$\frac{1}{2}$t（5-4t），即S=-2t²+$\frac{5}{2}$t；
当$\frac{3}{4}$＜t≤6时，Q在y轴的负半轴上，P在线段OA上，OP=t，OQ=4t-3，
则PQ=t+（4t-3）=5t-3．
则S=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（5t-3）×2=5t-3．
（3）当对称轴是y轴时，Q在OC上，此时0≤t≤$\frac{3}{4}$，OQ=3-4t，则OQ=OA，即3-4t=2，
解得：t=$\frac{1}{4}$；
当x轴是对称轴时，$\frac{3}{4}$＜t≤6时，Q在y轴的负半轴上，P在线段OA上，OP=t，OQ=4t-3，
OP=OQ，则t=4t-3，
解得：t=1．
总之，t=$\frac{1}{4}$或1．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，对称图形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确求得D的坐标是本题的关键．