Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE=2，DE=1，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OA，证明OA⊥AE即可．因为AE⊥CD，所以需证OA∥CE．根据角平分线定义和等腰三角形性质可证∠OAD=∠ODA=∠ADE可证；
（2）通过证明Rt△BAD∽Rt△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．．

解答：（1）证明：连接OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：在直角△ADE中，AD=

AE2+AD2

=

5

cm．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴Rt△BAD∽Rt△AED．
∴

DE

AD

=

AD

BD

=

AE

AB

．
∴BD=

AD2

DE

=5cm，AB=

AD•AE

DE

=2

5

cm，
由切割线定理得：AE²=ED•EC，
∴EC=4，
∴CD=3．

点评：本题考查切线的判定．已知直线经过圆上一点，证直线是圆的切线，需连接圆心和该点，证明直线与连线垂直．