Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．

（1）求△PEF的边长；

（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；

（3）求证：PH﹣BE=1．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）△APH∽△CFH；（3）见解析

【解析】解：（1）过P作PQ⊥BC于Q．

∵矩形ABCD中，∠B=90°，即AB⊥BC，

又∵AD∥BC，

∴PQ=AB=，

∵△PEF是等边三角形，

∴∠PFQ=60°．

在Rt△PQF中，PF===2，

∴△PEF的边长为2；

（2）△APH∽△CFH．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴△APH∽△CFH；

（3）在Rt△ABC中，AB=，BC=3，

∴AC==2，

∴∠ACB=30°，

∵△PEF是等边三角形，

∴∠2=60°，PF=EF=2，

∵∠2=∠1+∠3，

∴∠3=30°，

∴∠1=∠3，

∴FC=FH，

∵PH+FH=2，BE+FC=3﹣EF=3﹣2=1，

∴PH﹣BE=1．