Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．

　

Answer 1

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；

（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）²=x²+（3x）²求得答案．

【解答】（1）证明：如图，连接BD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵AF是⊙O的切线，

∴∠FAB=90°，

即∠DAB+∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ABD．

∵BA=BC，∠ADB=90°，

∴∠ABC=2∠ABD．

∴∠ABC=2∠CAF．

 

（2）解：如图，连接AE，

∴∠AEB=90°，

设CE=x，

∵CE：EB=1：4，

∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，

在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²，

即（2）²=x²+（3x）²，

∴x=2．

∴CE=2．

【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题大关键．