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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,E为A1C1的中点,
(Ⅰ)证明:CE⊥平面AB1C1
(Ⅱ)若AA1= ,∠BAC=30°,求点E到平面AB1C的距离.

【答案】解:(I)证明:∵CC1⊥平面A1B1C1 , B1C1平面A1B1C1 , ∴CC1⊥B1C1 , 又B1C1⊥A1C1
∴B1C1⊥平面AA1C1C,又CE平面AA1C1C,
∴B1C1⊥CE,
∵E是A1C1的中点, =
= = ,∴
∴Rt△CC1E∽RtACC1 , ∴∠C1CE=∠CAC1
∴∠CAC1+∠ACE=90°,即CE⊥AC1
又AC1平面AB1C1 , B1C1平面AB1C1 , B1C1∩AC1=C1
∴CE⊥平面AB1C1
(II)∵AA1= =
∴C1E= ,AC=2
∴S△ACE= =3
∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,AC=2
∴AB=4,B1C1=BC=2,
∴AB1= ,B1C= ,V = = =2
∴AC2+B1C2=AB12 , ∴AC⊥Bspan>1C,
∴S = =
设E到平面AB1C的距离为h,则V = =
∵V =V ,∴2 = ,解得h=
点E到平面AB1C的距离为
【解析】(1)证明B1C1⊥平面ACC1A1得出B1C1⊥CE,利用相似三角形证明CE⊥AC1 , 故而CE⊥平面AB1C1;(2)求出各线段的长,根据V =V 解出点E到平面AB1C的距离.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.

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