【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,E为A1C1的中点,
(Ⅰ)证明:CE⊥平面AB1C1;
(Ⅱ)若AA1= ,∠BAC=30°,求点E到平面AB1C的距离.
【答案】解:(I)证明:∵CC1⊥平面A1B1C1 , B1C1平面A1B1C1 , ∴CC1⊥B1C1 , 又B1C1⊥A1C1 ,
∴B1C1⊥平面AA1C1C,又CE平面AA1C1C,
∴B1C1⊥CE,
∵E是A1C1的中点, = ,
∴ = = ,∴ ,
∴Rt△CC1E∽RtACC1 , ∴∠C1CE=∠CAC1 ,
∴∠CAC1+∠ACE=90°,即CE⊥AC1 ,
又AC1平面AB1C1 , B1C1平面AB1C1 , B1C1∩AC1=C1 ,
∴CE⊥平面AB1C1 .
(II)∵AA1= , = ,
∴C1E= ,AC=2 ,
∴S△ACE= =3 ,
∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,AC=2 ,
∴AB=4,B1C1=BC=2,
∴AB1= ,B1C= ,V = = =2 ,
∴AC2+B1C2=AB12 , ∴AC⊥Bspan>1C,
∴S = = ,
设E到平面AB1C的距离为h,则V = = ,
∵V =V ,∴2 = ,解得h= .
点E到平面AB1C的距离为
【解析】(1)证明B1C1⊥平面ACC1A1得出B1C1⊥CE,利用相似三角形证明CE⊥AC1 , 故而CE⊥平面AB1C1;(2)求出各线段的长,根据V =V 解出点E到平面AB1C的距离.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】已知命题p,x∈R都有2x<3x , 命题q:x0∈R,使得 ,则下列复合命题正确的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.(¬p)∧(¬q)
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【题目】已知函数f(x)=x﹣ax(a>0,且a≠1).
(1)当a=e,x取一切非负实数时,若 ,求b的范围;
(2)若函数f(x)存在极大值g(a),求g(a)的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=(x2﹣2x)1nx+ax2+2,g(x)=f(x)﹣x﹣2. (Ⅰ)当a=﹣1时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若a>0且函数g(x)有且仅有一个零点,求实数a的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若e﹣2<x<e时,g(x)≤m恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ln2(x﹣1)﹣ ﹣x+3. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若当x≥1时,不等式(x+1)x+m≤exx+m恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知集合A={x∈N|x<3},B={x|x=a﹣b,a∈A,b∈A},则A∩B=( )
A.{1,2}
B.{﹣2,﹣1,0,1,2}
C.{1}
D.{0,1,2}
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)证明:k∈R,直线y=g(x)都不是曲线y=f(x)的切线;
(2)若x∈[e,e2],使得f(x)≤g(x)+ 成立,求实数k的取值范围.
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【题目】设函数f(x)= ,则满足f(f(m))=3f(m)的实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,0)∪{﹣ }
B.[0,1]
C.[0,+∞)∪{﹣ }
D.[1,+∞)
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【题目】已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2 , k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根x1、x2 , 满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?请说明理由.
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