Question

2．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=-$\frac{4}{21}$x²+$\frac{16}{21}$x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
（2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
（3）如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得A、B点坐标，当自变量为零时，可得C点坐标，根据对称轴公式，可得D点坐标，根据待定系数法，可得l的解析式；
（2）根据余角性质，可得∠1与∠3的关系，根据正切的定义，可得关于F点的横坐标的方程，根据解方程，可得F点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式；
（3）根据图象平移的规律，可得A′，C′，D′′点的坐标，根据待定系数法，可得A′C，BC，C′D′的解析式，根据解方程组，可得M、N的坐标，根据平行四边形的判定，可得四边形CMNC′的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{4}{21}$x²+$\frac{16}{21}$x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=7，
∴点A坐标为（-3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{\frac{16}{21}}{2×（-\frac{4}{21}）}$，
∴抛物线w的对称轴为直线x=2，
∴点D坐标为（2，0）．
 当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-2x+4；
（2）∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC=90°，如图．
此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
∴$\frac{FG}{AG}$=$\frac{AO}{CO}$．
设点F的坐标为（x_F，-2x_F+4），
∴$\frac{-（-2{x}_{F}+4）}{{x}_{F}-（-3）}$=$\frac{3}{4}$，
解得x_F=5，-2x_F+4=-6，
∴点F的坐标为（5，-6），
此时抛物线w′的函数表达式为y=-$\frac{4}{21}$x²+$\frac{40}{21}$x；
（3）由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（-3+m，0），D′（2+m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y=$\frac{4}{3}$x+4-$\frac{4}{3}$m，
直线BC的表达式为y=-$\frac{4}{7}$x+4，
直线C′D′的表达式为y=-2x+2m+4，
分别解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+4-\frac{4}{3}m}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2m+4}\\{y=-\frac{4}{7}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}m}\\{y=-\frac{4}{5}m+4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{5}m}\\{y=-\frac{4}{5}m+4}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{4}{5}$m+4），点N的坐标为（$\frac{7}{5}$m，-$\frac{4}{5}$m+4），
∴y_M=y_N∴MN∥x轴，
∵CC′∥x轴，
∴CC′∥MN．
∵C′D′∥CD，
∴四边形CMNC′是平行四边形，
∴S=m[4-（-$\frac{4}{5}$m+4）]=$\frac{4}{5}$m²

点评 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，待定系数法求函数解析式；（2）利用了余角的性质，正切函数的性质，利用等角的正切函数值相等得出关于F点横坐标的方程是解题关键；（3）利用了图象的平移规律，待定系数法求函数解析式，解方程组得出M、N的坐标是解题关键，又利用了平行四边形的判定，平行四边形的面积公式．