Question

【题目】如图，在中，，，.

（1）如图，点、在，上，且，求证：.

（2）点，分别在直线，上，且.

①如图，当点在的延长线上时，求证：；

②当点在点，之间，且时，已知，直接写出线段的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②.

【解析】

（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；

（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出AP=AM，即可得出结论；

②先求出BD，再求出∠BMD=30°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，

∴∠AMP=90°，

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM，

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN，

∵∠DAC=∠P=45°，

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM；

②如图，

在Rt△ABD中，AD=BD=AB=，

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，

∴∠BMD=90°-30°=60°，

在Rt△BDM中，DM=，

∴AM=AD-DM=-1．