Question

17．在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为原点．请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形，则点P的个数为8．

Answer 1

分析 本题应先求出OA的长，再分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案．

解答 解：OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OA=OP时，x轴上有（$\sqrt{5}$，0），（-$\sqrt{5}$，0）；
y轴上有（0，$\sqrt{5}$），（0，-$\sqrt{5}$）；
AP=OA时，x轴上有（4，0），y轴上（0，2）；
AP=OP时，x轴上有（$\frac{5}{4}$，0）y轴上有（0，$\frac{5}{2}$）
∴所有存在的点P的坐标为：p₁（4，0），p₂（0，2），p₃（$\sqrt{5}$，0），p₄（-$\sqrt{5}$，0），p₅（0，$\sqrt{5}$），p₆（0，-$\sqrt{5}$），p₇（$\frac{5}{4}$，0），p₈（0，$\frac{5}{2}$），共8个，
故答案为：8．

点评 本题考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．