Question

12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE．
（1）猜想：∠B的度数，并证明你的猜想．
（2）如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠DAE，根据AD是△ABC的角平分线，求得∠DAE=∠DAC，于是得到∠B=∠DAE=∠DAC，列方程即可得到结论；
（2）根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AE=BE，于是得到AB=2AE=2×3=6，即可得到结论．

解答 解：（1）猜想：∠B=30°，
∵DE⊥AB且AE=BE，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAC，
∴∠B=∠DAE=∠DAC，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°，
∴∠B=30°；

（2）∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2×3=6，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$×6×2=6cm²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积的求法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．