Question

9．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B₁在y轴上，点C₁，E₁，E₂，C₂，E₃，E₄，C₃在x轴上．若正方形A₁B₁C₁D₁的边长为2，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，则点A₃到x轴的距离是（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{3}}{9}$
• B． $\frac{3+\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{3+\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据两直线平行，同位角相等可得∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，然后解直角三角形求出OC₁、C₁E、E₁E₂、E₂C₂、C₂E₃、E₃E₄、E₄C₃，再求出B₃C₃，过点A₃延长正方形的边交x轴于M，过点A₃作A₃N⊥x轴于N，先求出A₃M，再解直角三角形求出A₃N，得出点A₃到x轴的距离．

解答 解：∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴∠B₃C₃O=∠B₂C₂O=∠B₁C₁O=60°，
∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，
∴OC₁=$\frac{1}{2}$×2=1，
C₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
E₁E₂=$\frac{1}{2}$×2=1，
E₂C₂=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
C₂E₃=E₂B₂=1，
E₃E₄=E₂C₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，E₄C₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴B₃C₃=2E₄C₃=$\frac{2}{3}$，
过点A₃延长正方形的边交x轴于M，过点A₃作A₃N⊥x轴于N，如图所示：
则A₃M=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{6+2\sqrt{3}}{9}$，
∴A₃N=A₃M•sin60°=$\frac{6+2\sqrt{3}}{9}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{3}$；
故选：D．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．