Question

【题目】已知，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AC是⊙O的直径．

（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数；

（2）如图2，延长PB、AC相交于点D．若AP＝AC，求cosD的值．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）cosD＝．

【解析】

（1）连接OB．根据平行的想得到PA⊥AO，PB⊥OB，根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）连结OP交AB于点E，再连OB、BC，根据切线的性质得到∠PAC=∠PBO=90°，推出OP是AB的垂直平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：如图1，连接OB．

∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，

∴PA⊥AO，PB⊥OB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．

∵∠BAC＝25°，OB＝OA，

∴∠BOA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，

∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；

（2）解：如图2，连结OP交AB于点E，再连OB、BC，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠PAC＝∠PBO＝90°，

∵AP＝AC，AC是⊙O的直径，

∴，∵PB＝PA，OB＝OA，

∴OP是AB的垂直平分线，

∵∠OAP＝90°，AE⊥OP，

∴△OEA∽△AEP∽△OAP，

∴，

设OE＝a，可得AE＝BE＝BC＝2a，PE＝4a，

∴OP＝5a，

∴OA＝a，PA＝PB＝2a，

∵∠ABC＝∠AEO＝90°，

∴OP∥BC，

∴△DBC∽△DPO，

∴＝＝＝．

∴BD＝，OD＝ a，

∴COSD＝＝．