Question

5．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE•PO
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．
（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据PC²=PE•PO和∠P=∠P，可证明△PCO∽△PEC，则∠PCO=∠PEC，再由已知条件即可得出PC⊥OC；
（2）设OE=x，则AE=2x，根据切割线定理得PC²=PA•PB，则PA•PB=PE•PO，解一元二次方程即可求出x，从而得出⊙O的半径；
（3）根据PC是⊙O的切线，得∠PCA=∠B，根据勾股定理可得出CE，BC，由三角函数的定义可得出答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵PC²=PE•PO，
∴$\frac{PC}{PE}$=$\frac{PO}{PC}$，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC²=PA•PB，
∴PA•PB=PE•PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半径为3．

（3）解：∵PC²=PA•PB，PA=6，PB=PA+2OA=12，
∴PC=6$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{P{C}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{72-64}$=2$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{8+16}$=2$\sqrt{6}$，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义的综合应用，是中考压轴题，难度中等．