Question

11．设a，b，c分别是△ABC的边长，若∠B=2∠A，则下列关系是成立的是（　　）

• A． $\frac{a}{b}$$＞\frac{a+b}{a+b+c}$
• B． $\frac{a}{b}$$＜\frac{a+b}{a+b+c}$
• C． $\frac{a}{b}$=$\frac{a+b}{a+b+c}$
• D． 无法确定

Answer 1

分析 延长CB至D，使BD=AB，于是得到CD=a+c，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠D，根据三角形的外角的性质得到∠ABC=∠BAD+∠D，证得∠BAC=∠D，由于∠C=∠C，推出△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，即$\frac{b}{a+c}=\frac{a}{b}$，根据合比的性质即可得到$\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{a}{b}$．

解答 解：延长CB至D，使BD=AB，
于是CD=a+c，∠BAD=∠D，
∵∠ABC=∠BAD+∠D，
∴∠ABC=2∠D，
∵∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=∠D，
∵∠C=∠C
∴△ABC∽△DAC，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，即：$\frac{b}{a+c}=\frac{a}{b}$，
∴$\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{a}{b}$，
故选C．

点评 本题考查了三角形的边角关系，相似三角形对应边比值相等的性质，比例的性质，相似三角形的判定，本题中求证△ABC∽△DAC是解题的关键．