精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,点A为平面直角坐标系第一象限内一点,直线y=x过点A,过点AADy轴于点D,点By轴正半轴上一动点,连接AB,过点AACABx轴于点C.

(1)如图,当点B在线段OD上时,求证:AB=AC

(2)①如图,当点BOD延长线上,且点Cx轴正半轴上, OAOBOC之间的数量关系为________(不用说明理由)

②当点BOD延长线上,且点Cx轴负半轴上,写出OAOBOC之间的数量关系,并说明原因.

(3)直线BC分别与直线AD、直线y=x交于点EF,若BE=5CF=12,直接写出AB的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)OA=OC+OB);②OA=OB-OC);(3)10 15

【解析】

1)过点AAEOC于点E,先证明四边形ADOE是正方形,再证明RtADBRtAECAAS),从而求得结论;(2)①过点AAEOC于点E,方法同(1)证明四边形ADOE是正方形,RtADBRtAECAOD是等腰直角三角形,再应用勾股定理即可得结论OA=OC+OB);②方法同①得结论:OA=OB-OC);(3)①当点B在线段OD上时,将AFC绕点A顺时针旋转90°ACAB重合,变为ABF′,连接EF′,证明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13,再证明AEF≌△AEF′,所以EF= EF′=13BF=EF-EB=13-5=8BC=BF+FC=8+12=20,而ABC是等腰直角三角形,所以AB==10; ②当点BOD延长线上,且点Cx轴正半轴上时,方法同①,解得:AB=15;③当点BOD延长线上,且点Cx轴负半轴上时,方法同上,解得:AB=3 .

1)过点AAEOC于点E,

ADy,点Ay=x上,∠DOE=90°

∴四边形ADOE是矩形,AE=OE

∴矩形ADOE是正方形,

AD=AE,DAE=BAC=90°,

∴∠DAB=EAC

又∵∠BDA=CEA=90°

RtADBRtAEC

AB=AC.

(2) 过点AAEOC于点E,

方法同(1)得,四边形ADOE是正方形,RtADBRtAECAB=ACBD=CE

OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD,即OD=OC+OB

又∵△AOD是等腰直角三角形,

∴由勾股定理得:OA=OD =×OC+OB=OC+OB),

OA=OC+OB),

②过点AAEOC于点E,

方法同(1)得,四边形ADOE是正方形,RtADBRtAECAB=ACBD=CE

OB-OD=OC+OE,即OB-OC=OD+OE=2OD=OA

又∵△AOD是等腰直角三角形,

∴由勾股定理得:OA=ODOD= OA

OB-OC= OD+OE=2OD=OA,即OB-OC=OAOA=OB-OC

3)①当点B在线段OD上时,

AFC绕点A顺时针旋转90°ACAB重合,变为ABF′,连接EF′BF′=CF=12,∠ACB=ABC=ABF′=45°,∠CBF′=ABC+ABF′=90°,所以∠EBF′=90°,

又∵BE=5,∴EF′=13

∵∠F′AO=90° FAE=F′AE=45°AE=AEAF=AF′

∴△AEF≌△AEF′

EF= EF′=13BF=EF-EB=13-5=8BC=BF+FC=8+12=20

由(1)得:ABC是等腰直角三角形,∴AB==10;

②当点BOD延长线上,且点Cx轴正半轴上时,

方法同①,旋转AFCAF′B,证出∠EBF′EF′=13=EFBC=BE+EF+FC=5+13+12=30,所以等腰直角三角形ABC的直角边AB=15;

③当点BOD延长线上,且点Cx轴负半轴上,

已证ABC是等腰直角三角形,

过点BBF′BC于点B,截取 BF′=CF=12 连接F′EF′A,∵BE=5

∴∠ABF′=ACF=135°,EF′=13

AB=AC

∴△ABF′≌△ACF,可得AF′=AF,∠BAF′=CAF

∴∠BAC=F′AF=90°

∵∠EAF=45°

∴∠EAF=45°=EAF′,又AE=AE

∴△EAF≌△EAF′

EF=EF′=13EC=EF-CF=13-12=1BC=BE+EC=1+5=6

∴在等腰直角三角形ABC中,直角边AB=3.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某商场正在销售两种型号玩具,已知购买一个型玩具和两个型玩具共需元;购买两个型玩具和一个型玩具共需.

1)求一个型玩具和一个型玩具的价格各是多少元?

2)我公司准备购买这两种型号的玩具共个送给幼儿园,且购买金额不能超过元,请你帮该公司设计购买方案?

3)在(2)的前提下,若要求两种型号玩具都要购买,且费用最少,请你选择一种最佳的设计方案,并通过计算说明。

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】分)在菱形中, ,点是线段上的一个动点.

)如图①,求的最小值.

)如图②,若也是边上的一个动点,且,求的最小值.

)如图③,若,则在菱形内部存在一点,使得点分别到点、点、边的距离之和最小.请你画出这样的点,并求出这个最小值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】甲、乙两个长方形的边长如图所示(为正整数),其面积分别为.

(1)填空: (用含的代数式表示)

(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和.

①设该正方形的边长为,求的值(用含的代数式表示)

②设该正方形的面积为,试探究: 的差是否是常数?若是常数,求出这个常数,若不是常数,请说明理由,

(3)若另一个正方形的边长为正整数,并且满足条件有且只有4个,求的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,RtABC中,AB=AC=8BO=AB,点MBC边上一动点,将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°ON,连接ANCN,则△CAN周长的最小值为________.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,三角形纸牌中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿着过△ABC的顶点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED周长为____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,直线 轴、轴分别交于点BC经过BC两点的抛物线轴的另一个交点为A

(1)求该抛物线的解析式;

2若点P在直线下方的抛物线上,过点PPD轴交于点DPE轴交于点E

PD+PE的最大值

(3)设F为直线上的点,以ABPF为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售,若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元,其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.

1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元?

2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件,该商场甲种牛奶的销售价格为49元,乙种牛奶的销售价格为每件55元,则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后,可使销售的总利润(利润=售价﹣进价)等于371元,请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知ABDE,∠ABC800,∠CDE1400.请你探索出一种(只须一种)添加辅助线求出∠BCD度数的方法,并求出∠BCD的度数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案