Question

如图，在菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF，连接E、F，若E、F分别是CB、CD的中点，△AEF为等边三角形．求证：AE垂直平分BC．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：证明题

分析：首先连接AC，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得AC是EF的中垂线，进而得到A、E、C、F四点共圆，根据直径所对的角是直角可得∠AEC=∠AFC=90°，进而得到AE垂直平分BC．

解答：证明：连接AC，交于G，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵E、F分别是CB、CD的中点，
∴EC=FC，
∴C在EF的垂直平分线上，
∴AC是EF的中垂线，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴AE垂直平分BC．

点评：此题主要考查了菱形的性质，以及四点共圆，关键是正确判断出AC是EF的中垂线．