Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向上，对称轴x＜-1，与y轴交点纵坐标在0和-1之间，图象过（2，4）点，有下列结论：（1）abc＞0；（2）2a-b＞0；（3）20a＜（4a+b）²；（4）0＜a＜

5

8

；其中正确结论有哪些，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据题意作出草图，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及点（2，4）情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：（1）由开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，则ab＞0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
所以 abc＜0．
故（1）错误；

（2）抛物线开口方向向上，则a＞0，对称轴x=-

b

2a

＜-1，故b＞2a，即2a-b＜0．
故（2）错误；

（3）∵当x=2时，y=4，
∴4=4a+2b+c，
∴（4a+2b）²=（c-4）²
∵c在0和-1之间，
∴16＜（c-4）²＜25
∵b＜2a，
∴8a＜4-c，
∵c在0和-1之间，
∴8a＜5，
∴a＜

5

8

，
∴20a＜

25

2

，
∴20a＜（4a+b）²
故（3）正确；

（4）由（1）（3）可知0＜a＜

5

8

，
故（4）正确．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．