Question

如图，在平面直角坐标系中，AB∥x轴交y轴于点B，CD∥x轴交y轴于点D，且点A、点C的坐标分别为（8，3）和（-6，-2），两动点P、Q分别从点A和点C同时出发，分别沿射线AB、射线CD方向以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒，线段PQ交BD于点E．
（1）当E为线段BD的中点时，求线段PB的长；
（2）当P在第一象限，且△PBE为等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在t的值，使以PBCD为顶点的梯形的面积为15？若存在，求出t的值，并写出此时P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据相似推出BP=DQ，即可得出方程，求出方程的解即可；
（2）根据等腰求出PB=BE，DQ=DE，即可得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据梯形的面积公式得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：设时间是t，
（1）∵E为BD中点，
∴BE=DE，
∵AB∥x轴交y轴于点B，CD∥x轴交y轴于点D，
∴AB∥CD，
∴△PBE∽△QDE，
∴

BP

DQ

=

BE

DE

，
∴BP=DQ，
∴8-2t=6-t，
∴t=2，
∴PB=8-2t=8-2×2=4；

（2）∵AB∥x轴交y轴，
∴∠PBE=90°，
∵△PBE为等腰三角形，
∴PE=BE，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△QDE，
∴PB=DE=8-t，QE=DE=6-t，
∵BD=BE+DE=5，
∴（8-2t）+（6-t）=5，
∴t=3；

（3）不存在，
理由是：∵BP=8-2t，
∴S_梯形=

1

2

（8-2t+6）×5=15，
解得：t=4，
即当t=4时，点P和点B重合，
所以这个梯形是不存在的，
即不存在t的值，使以PBCD为顶点的梯形的面积为15．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，坐标与图形性质的应用，题目比较好，难度适中．