Question

【题目】如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点 c 移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动， 设它们的运动时间为 t．

（1）根据题意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代数式表示）

（2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的？

（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？

Answer 1

【答案】（1）PC=4﹣2t，CQ=t（2）经过或秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的（3）1.2 或

【解析】

（1）由动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点 c 移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动， 设它们的运动时间为 t，可得PC为4﹣2t，CQ为t；

(2)由△CPQ 的面积等于△ABC 面积的，可列方程(4-2t)t= ××3×4，求出t的值即可；

(3)分Rt△ABC∽Rt△QPC与Rt△ABC∽Rt△PQC两种情况讨论，有对应边成比例，可求得t的值.

(1)经过t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，

(2)当△CPQ 的面积等于△ABC面积的时,即(4-2t)t= ××3×4，

解得；t=或 t=；

答：经过或秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积是；

（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，

①若 Rt△ABC∽Rt△QPC 则=，即=，解得 t=1.2；

②若 Rt△ABC∽Rt△PQC 则=，即=，解得 t=；

由 P 点在 BC 边上的运动速度为 2cm/s，Q 点在 AC 边上的速度为 1cm/s，可求出t 的取值范围应该为 0＜t＜2，

验证可知①②两种情况下所求的 t 均满足条件．

答：要使△CPQ 与△CBA 相似，运动的时间为 1.2 或秒．