Question

16．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧$\widehat{BC}$的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．
（1）求证：OE=$\frac{1}{2}$AC；
（2）连接CD，若∠PCD=∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

Answer 1

分析 （1）由于D是弧BC的中点，利用垂径定理的推论，可证OD⊥BC，而AC⊥BC，故OD∥AC，又O是AB中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得BE：CE=OB：OA，从而可知E是BC中点，即OE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证OE=$\frac{1}{2}$AC；
（2）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCP=90°，进而得出答案；
（3）利用两组角对应相等，易证△PCD∽△PAC，进而得出PD的长，从而求出CP．

解答 （1）证明：∵AB为直径
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵D为$\widehat{BC}$中点，
∴OD⊥BC，OD∥AC，
又∵O为AB中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC；

（2）解：PC为⊙O的切线，
理由：连接CO，DC，
∵CO=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BCD=∠BAD，∠PCD=∠PAC，
∴∠OCB+∠BCD+∠PCD
=∠OBC+∠BAD+∠PAC，
∴∠OCP=∠OBC+∠BAC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠OBC+∠BAC=90°，
∴∠OCP=90°，
即PC为⊙O的切线；

（3）解：由（1）可知，OE=3，BE=4，DE=2，
在Rt△BED和Rt△ABD中，
由勾股定理得：BD=2$\sqrt{5}$，AD=4$\sqrt{5}$，
∵点D是劣弧$\widehat{BC}$的中点，
∴CD=2$\sqrt{5}$，
∵∠P是△PCD和△PAC的公共角，
由∠PCD=∠PAC，
则△PCD∽△PAC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{PD}{PC}$，
∴PC²=PD•AP，
即$\frac{2\sqrt{5}}{6}$=$\frac{PD}{PC}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$PD，
∴（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$PD）²=PD（4$\sqrt{5}$+PD），
解得：PD=5$\sqrt{5}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×5$\sqrt{5}$=15．

点评 此题主要考查了垂径定理的推论、平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，得出△PCD∽△PAC求出PC的长是解题关键．