Question

【题目】如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，CE，BD相交于点P，连接PA．

（1）求证：CE＝BD；

（2）求证：PA平分∠BPE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出AE=AD，再由∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，得出∠DAB=∠EAC，利用SAS可证得△EAC≌△DAB，从而可得出结论．
（2）根据△EAC≌△DAB可得∠ACF=∠ABE，证明△BAE≌△CAF（AAS），得出AE=AF，即可得出结论．

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AE=AD、AB=AC，
又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，

，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE=BD；
（2）证明：作AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图所示：
则∠BEA=∠CFA=90°，
由（1）得：△EAC≌△DAB，
∴∠ACF=∠ABE，
在△BAE和△CAF中，

，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE=AF，
∵AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，
∴PA平分∠BPE．