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【题目】如图1,在等腰直角三角形中,,边上,连接,连接

1)求证:

2)点关于直线的对称点为,连接

①补全图形并证明

②利用备用图进行画图、试验、探究,找出当三点恰好共线时点的位置,请直接写出此时的度数,并画出相应的图形

【答案】1)证明见解析;(2)①见解析;②画图见解析,.

【解析】

1)先根据同角的余角相等推出∠BAD=CAE,再根据SAS证得△BAD≌△CAE,进而可得结论;

2)①根据题意作图即可补全图形;利用轴对称的性质可得ME=AECM=CA,然后根据SSS可推出△CME≌△CAE,再利用全等三角形的性质和(1)题的∠BAD=CAE即可证得结论;

②当三点恰好共线时,设ACDM交于点H,如图3,由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM=135°,然后在AEHDCH中利用三角形的内角和可得∠HAE=HDC,进而可得,接着在CDM中利用三角形的内角和定理求出∠CMD的度数,再利用①的结论即得答案.

解:(1)证明:∵AEAD,∴∠DAE=90°,∴∠CAE+DAC=90°

∵∠BAC=90°,∴∠BAD+DAC=90°

∴∠BAD=CAE

又∵BA=CADA=EA

∴△BAD≌△CAESAS),

2)①补全图形如图2所示,∵点关于直线的对称点为,∴ME=AECM=CA

CE=CE,∴△CME≌△CAESSS),

∵∠BAD=CAE

②当三点恰好共线时,设ACDM交于点H,如图3,由(1)题知:

∵△CME≌△CAE,∴,∴∠DCM=135°

AEHDCH中,∵∠AEH=ACD=45°,∠AHE=DHC,∴∠HAE=HDC

,∴

.

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A. B. C. D.

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有以下结论:

①当∠PAQ=30°PQ=6时,可得到形状唯一确定的△PAQ

②当∠PAQ=30°PQ=9时,可得到形状唯一确定的△PAQ

③当∠PAQ=90°PQ=10时,可得到形状唯一确定的△PAQ

④当∠PAQ=150°PQ=12时,可得到形状唯一确定的△PAQ

其中所有正确结论的序号是( )

A.②③B.③④C.②③④D.①②③④

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