Question

【题目】如图1，已知三角形纸片△ABC和△DEF重合在一起，AB＝AC，DE＝DF，△ABC≌△DEF．数学实验课上，张老师让同学们用这两张纸片进行如下操作：

(1)（操作探究1）保持△ABC不动，将△DEF沿射线BC方向平移至图2所示位置，通过度量发现BE：CE＝1：2，则S△CGE：S△CAB＝　 　；

(2)（操作探究2）保持△ABC不动，将△DEF通过一次全等变换(平移、旋转或翻折后和△ABC拼成以BC为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程．

(3)（操作探究3）将两个三角形按图3所示放置：点C与点F重合，AB∥DE．保持△ABC不动，将△DEF沿射线DA方向平移．若AB＝13，BC＝10，设△DEF平移的距离为m．

①当m＝0时，连接AD、BE，判断四边形ABED的形状并说明理由；

②在平移的过程中，四边形ABED能否成为正方形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)4：9；(2)将△DEF沿EF翻折或绕BC中点旋转180°；(3)①矩形，理由见解析；②能，m＝或m＝．

【解析】

（1）证△CGE∽△CAB，得；（2）运用翻折或旋转；（3）①先证四边形ABED是平行四边形，再证四边形ABED是矩形；②过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥BE，CM⊥AB，根据勾股定理求出AG，再求出三角形ABC的面积，得BH＝CM＝，BE＝2BH＝，根据平移定义得BE＝AB.

(1)如图2，由题意知DE∥AB，

∴△CGE∽△CAB，

则

故答案为：4：9；

(2)将△DEF沿EF翻折或绕BC中点旋转180°；

(3)①∵AB∥DE且AB＝BC＝DC＝DE，

∴四边形ABED是平行四边形，

∵∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠ABC＝180°，

且∠DEC＝∠ABC，∠CEB＝∠CBE，

∴∠DEC+∠CEB＝90°，即∠BED＝90°，

∴四边形ABED是矩形；

②能，

如图，过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥BE，CM⊥AB，

∴CM＝，

则BH＝CM＝，BE＝2BH＝，

∵四边形ABED是正方形，

∴平移后BE＝AB，

则m＝或m＝．