Question

【题目】请阅读以下材料，并完成相应任务：

斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家．1202年，撰写了《算盘书》一书，他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，他还曾在埃及、叙利亚、希腊，以及意大利西西里和法国普罗旺斯等地研究数学．他研究了一列非常奇妙的数：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……这列数，被称为斐波那契数列．其特点是从第3项开始，每一项都等于前两项之和，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．

任务：（1）填写下表并写出通过填表你发现的规律：

项	第2项	第3项	第4项	第5项	第6项	第7项	第8项	第9项	…
这一项的平方	1	1	4	9	25	________	_______	441	…
这一项的前、后两项的积	0	2	3	10	24	_______	_______	442	…

规律：_____________；

（2）现有长为的铁丝，要截成小段，每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为___________________．

Answer 1

【答案】（1）64，169，65，168；规律：从第二项起，偶数项的平方比这一项的前、后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前、后两项的积小1；（2）5

【解析】

（1）根据表格中已有的数据可得到如下规律：从第二项起，偶数项的平方比这一项的前、后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前、后两项的积小1，进而填表即可；

（2）根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是：1，1，2，3，5，然后依此类推，最后每段的总和要不大于15即可．

解：（1）填表如下：

项	第2项	第3项	第4项	第5项	第6项	第7项	第8项	第9项	…
这一项的平方	1	1	4	9	25	64	169	441	…
这一项的前、后两项的积	0	2	3	10	24	65	168	442	…

规律：从第二项起，偶数项的平方比这一项的前、后两项的积大1，奇数项的平方比这一项的前、后两项的积小1．

（2）构成三角形的条件是任何两边之和大于第三边，因此构不成三角形的条件就是存在两边之和不超过第三边，要使截得的小铁丝数量最多，那么截成的小段铁丝应尽可能的短．已知截成的铁丝最小为，因此可以先截取2个，第三段铁丝就是，即从第三段开始，其长度是前两段铁丝长度的和．若第四段铁丝为，第五段铁丝为，这时剩下，由于，因此最后一段为．则截成的铁丝的长度依次为：，所以最多能截成5段．