Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点的横坐标为，对称轴交轴交于点，交与点 .

（1）求顶点的坐标；

（2）如图2所示，过点的直线交直线于点，交抛物线于点.

①若直线将分成的两部分面积之比为，求点的坐标；

②若，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）的坐标为．

【解析】

（1）将点A坐标代入函数关系式可得a与b 的方程，再根据顶点的横坐标为可得另一个关于a和b的方程，联立方程组求解即可得到a和b的值，进而求得抛物线的函数关系式，再将顶点的横坐标代入即可求得点D坐标；

（2）①如图，取得三等分点，过点分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，通过证相似三角形可得点M的横纵坐标与点B、D的横纵坐标之间的数量关系，进而得解；

（3）取线段的中点，连接GM，由中点坐标可得，根据等腰三角形的三线合一可得GM⊥BC，在根据两条直线互相垂直可求得，与联立方程组可求得点M的坐标，再由利用待定系数法可得，最后将与联立方程组即可求得点N的坐标．

解：（1）将代入可得①

∵顶点的横坐标为，

∴，即②

联立①②解得

∴

当时，

（2）由（1）得

当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴B（3,0），即BO=3，

如图，取的三等分点，过点分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，

则可得△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比为1:2:3，

∴

同理可得：

∴点的坐标为：，

（3）

取线段的中点，作直线GM，

∵点B（3,0），点C（0，3）

∴中点G的坐标为

∵，点G为线段的中点，

∴GM⊥BC，

∴设直线GM为y=x+m

将代入得m=0，

∴①

设直线BD为y=kx+n

将坐标代入得k=-2，n=6，

∴②

联立①②可得

∴

设直线MC为y=k2x+n2

将坐标代入得k2=，n2=3，

∴③

联立③与可得

∴

故的坐标为.