【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AB、BC的中点,过点C作CF∥AB,与DE的延长线并交于点F,连接BF.
(1)试判断四边形CDBF的形状,并说明理由;
(2)若CD=5,sin∠CAB=,过点C作CH⊥BF,垂足为H点,试求CH的长.
【答案】(1)四边形CDBF是菱形,见解析;(2)CH=.
【解析】
(1)证出DE是△ABC的中位线,得出DE∥AC,AC=2DE,证出四边形CDBF是平行四边形,由直角三角形的性质得出CD=AB=BD,即可得出四边形CDBF是菱形;
(2)由直角三角形的性质得出AB=2CD=10,求出BC=6,由勾股定理得出AC==8,得出DE=AC=4,由菱形的性质得出DF=2DE=8,BF=CD=5,由菱形CDBF的面积即可得出结果.
解:(1)四边形CDBF是菱形,理由如下:
∵点D、E分别是AB、BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∴DF∥AC,
∵CF∥AB,
∴四边形CDBF是平行四边形,
∵∠ACB=90°,点D是AB的中点,
∴CD=AB=BD,
∴四边形CDBF是菱形;
(2)如图所示:
∵∠ACB=90°,CD=5,
∴AB=2CD=10,
∵sin∠CAB==,
∴BC=6,
∴AC==8,
∴DE=AC=4,
∵四边形CDBF是菱形,
∴DF=2DE=8,BF=CD=5,
∵菱形CDBF的面积=BF×CH=×BC×DF=×6×8=24,
∴CH=.
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【题目】如图,在等腰直角△ABC中,AB=4,点D是边AC上一点,且AD=1,点E是AB边上一点,连接DE,以线段DE为直角边作等腰直角△DEF(D、E、F三点依次呈逆时针方向),当点F恰好落在BC边上时,则AE的长是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过原点的直线与反比例函数交于点,与反比例函数 交于点,过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,两直线交于点,若的面积为,则的值为_______.
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【题目】问题发现
(1)如图①,为边长为的等边三角形,是边上一点且平分的面积,则线段的长度为____;
问题探究
(2)如图②,中,点在上,点在上,若平分的面积,且最短,请你画出符合要求的线段,并求出此时与的长度.
问题解决
(3)如图③,某公园的一块空地由三条道路围成,即线段,已知米,米,的圆心在边上,现规划在空地上种植草坪,并的中点修一条直路(点在 上).请问是否存在,使得平分该空地的面积?若存在,请求出此时的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,连接AE,点F是AE上一点,连接FC,若∠BAE=∠EFC,CF=CD,AB:BC=3:2,AF=4,则FC的长为_____.
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【题目】某校九年级数学模拟测试中,六名学生的数学成绩如下表所示,下列关于这组数据描述正确的是( )
姓名 | 小红 | 小明 | 小东 | 小亮 | 小丽 | 小华 |
成绩(分) | 110 | 106 | 109 | 111 | 108 | 110 |
A.众数是110B.方差是16
C.平均数是109.5D.中位数是109
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【题目】为了解学生对博鳌论坛会的了解情况,某中学随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果记作“非常了解,了解,了解较少,不了解.”四类分别统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了______名学生;扇形统计图中所在的扇形的圆心角度数为______;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有1600名学生,请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人?
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【题目】如图1,抛物线与轴交于点、点,与轴交于点,顶点的横坐标为,对称轴交轴交于点,交与点 .
(1)求顶点的坐标;
(2)如图2所示,过点的直线交直线于点,交抛物线于点.
①若直线将分成的两部分面积之比为,求点的坐标;
②若,求点的坐标.
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