Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接AE，点F是AE上一点，连接FC，若∠BAE＝∠EFC，CF＝CD，AB：BC＝3：2，AF＝4，则FC的长为_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

根据矩形的性质得到AB=CD，过B作BG⊥AE于G，过C作CH⊥AE于H，根据全等三角形的性质得到AG=FH，BG=CH，求得AF=GH=4，根据全等三角形的性质得到GE=HE=2，BE=CE，设AB=CF=3x，BC=2x，根据勾股定理得到AE==，列方程即可得到结论．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，

∵CF＝CD，

∴AB＝CF，

过B作BG⊥AE于G，过C作CH⊥AE于H，

∴∠AGB＝∠FHC＝90°，

在△ABG与△FCH中，

，

∴△ABG≌△FCH（AAS），

∴AG＝FH，BG＝CH，

∴AF＝GH＝4，

在△EBG与△ECH中，

，

∴△EBG≌△ECH（AAS），

∴GE＝HE＝2，BE＝CE，

∵AB：BC＝3：2，

∴设AB＝CF＝3x，BC＝2x，

∴BE＝CE＝x，

∴AE＝＝，

∵∠ABC＝90°，BG⊥AE，

∴△BEG∽AEB，

∴BE2＝EGAE，

∴AE＝，

∴，

∴x＝2，x＝0（不合题意舍去），

∴CF＝3x＝6，

故答案为6．