【题目】(1)问题发现:如图1,在等边中,点为边上一动点,交于点,将绕点顺时针旋转得到,连接.则与的数量关系是_____,的度数为______.
(2)拓展探究:如图2,在中,,,点为边上一动点,交于点,当∠ADF=∠ACF=90°时,求的值.
(3)解决问题:如图3,在中,,点为的延长线上一点,过点作交的延长线于点,直接写出当时的值.
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】
(1)由题意可证△DEC是等边三角形,∠AED=120°,可得DE=DC,由旋转性质可得∠ADF=60°=∠EDC,AD=DF,由“SAS”可证△ADE≌△FDC,可得AE=CF,∠AED=∠DCF=120°,可得∠ACF=60°;
(2)通过证明△DAE∽△DFC,可得,通过证明△EDC∽△ABC,可得,即可求的值;
(3)通过证明△DAE∽△DFC,可得,通过证明△EDC∽△ABC,可得,即可求的值;
解:(1)∵DE∥AB
∴∠ABC=∠EDC=60°,∠BAC=∠DEC=60°
∴△DEC是等边三角形,∠AED=120°
∴DE=DC,
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF,
∴∠ADF=60°=∠EDC,AD=DF
∴∠ADE=∠FDC,且CD=DE,AD=DF
∴△ADE≌△FDC(SAS)
∴AE=CF,∠AED=∠DCF=120°
∴∠ACF=60°,
故答案为AE=CF,60°
(2)∵∠ABC=90°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=30°
∴tan∠BAC=
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC=90°
∵∠ADF=90°,
∴∠ADE=∠FDC
∵∠ACF=90°,∠AED=∠EDC+∠ACB,∠FCD=∠ACF+∠ACB
∴∠AED=∠FCD,且∠ADE=∠FDC
∴△DAE∽△DFC
∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC
(3)∵AB∥DE
∴∠ABC=∠BDE=∠ADF,∠BAC=∠E
∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB
∴∠ADE=∠CDF,
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF,且∠ACF=∠ABC
∴∠BAC=∠DCF=∠E,且∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△FDC
∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC
∵
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【题目】如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=12,E 为 AD 中点,F 为 AB 上一点,将△ AEF 沿 EF 折叠后,点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处,则折痕 EF 的长是______.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,连接AE,点F是AE上一点,连接FC,若∠BAE=∠EFC,CF=CD,AB:BC=3:2,AF=4,则FC的长为_____.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BD平分∠ABC,BD⊥DC.
(1)求出sin∠DBC的值;
(2)若AD=2,把∠BOC绕点O顺时针旋转(),交AB于点M,交BC于点N(如图),求证:四边形OMBN的面积为一个定值,并求出这个定值.
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【题目】为了解学生对博鳌论坛会的了解情况,某中学随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果记作“非常了解,了解,了解较少,不了解.”四类分别统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了______名学生;扇形统计图中所在的扇形的圆心角度数为______;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有1600名学生,请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人?
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【题目】在新中国成立70周年之际,某校开展了“校园文化艺术”活动,活动项目有:书法、绘画、声乐和器乐,要求全校学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动,政教处在该校学生中随机抽取了100名学生进行调查和统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据解答下列问题:
(1)请补全条形统计图和扇形统计图;
(2)该校初中学生中,参加“书法”项目的学生所占的百分比是多少?
(3)若该校共有1500人,请估计其中参加“器乐”项目的高中学生有多少人?
(4)经政教处对所有参加“绘画”项目的作品进行评比,共选出2名初中学生和2名高中学生的最佳作品,学校决定从这4名学生中随机抽取2人作为学生会“绘画社团”的团生,那么正好抽到一名初中学生和一名高中学生的概率是多少?
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【题目】为响应市政府关于“垃圾不落地市区更美丽”的主题宣传活动,某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况.调查选项分为“A:非常了解,B:比较了解,C:了解较少,D:不了解”四种,并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)把两幅统计图补充完整;
(2)若该校学生有2000名,根据调查结果,估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有 名;
(3)已知“非常了解”的同学有3名男生和1名女生,从中随机抽取2名进行垃圾分类的知识交流,请用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x2+y1y2=0,且A,B均不为原点,则称A和B互为正交点.比如:A(1,1),B(2,﹣2),其中1×2+1×(﹣2)=0,那么A和B互为正交点.
(1)点P和Q互为正交点,P的坐标为(﹣2,3),
①如果Q的坐标为(6,m),那么m的值为多少;
②如果Q的坐标为(x,y),求y与x之间的关系式;
(2)点M和N互为正交点,直接写出∠MON的度数;
(3)点C,D是以(0,2)为圆心,半径为2的圆上的正交点,以线段CD为边,构造正方形CDEF,圆心F在正方形CDEF的外部,求线段OE长度的取值范围.
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