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【题目】(1)问题发现:如图1,在等边中,点边上一动点,于点,将绕点顺时针旋转得到,连接.则的数量关系是_____的度数为______

(2)拓展探究:如图2,在中,,点边上一动点,于点,当∠ADF=∠ACF=90°时,求的值.

(3)解决问题:如图3,在中,,点的延长线上一点,过点的延长线于点,直接写出当的值.

【答案】(1)(2)(3).

【解析】

1)由题意可证DEC是等边三角形,∠AED=120°,可得DE=DC,由旋转性质可得∠ADF=60°=EDCAD=DF,由“SAS”可证ADE≌△FDC,可得AE=CF,∠AED=DCF=120°,可得∠ACF=60°
2)通过证明DAE∽△DFC,可得,通过证明EDC∽△ABC,可得,即可求的值;

3)通过证明DAE∽△DFC,可得,通过证明EDC∽△ABC,可得,即可求的值

解:(1)∵DEAB
∴∠ABC=EDC=60°,∠BAC=DEC=60°
∴△DEC是等边三角形,∠AED=120°
DE=DC
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF
∴∠ADF=60°=EDCAD=DF
∴∠ADE=FDC,且CD=DEAD=DF
∴△ADE≌△FDCSAS
AE=CF,∠AED=DCF=120°
∴∠ACF=60°
故答案为AE=CF60°

2)∵∠ABC=90°,∠ACB=60°
∴∠BAC=30°
tanBAC=

DEAB
∴∠EDC=ABC=90°
∵∠ADF=90°
∴∠ADE=FDC
∵∠ACF=90°,∠AED=EDC+ACB,∠FCD=ACF+ACB
∴∠AED=FCD,且∠ADE=FDC
∴△DAE∽△DFC

DEAB
∴△EDC∽△ABC

3)∵ABDE
∴∠ABC=BDE=ADF,∠BAC=E
∴∠BDE+ADB=ADF+ADB
∴∠ADE=CDF
∵∠ACD=ABC+BAC=ACF+DCF,且∠ACF=ABC
∴∠BAC=DCF=E,且∠ADE=CDF
∴△ADE∽△FDC

DEAB
∴△EDC∽△ABC

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