Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BD平分∠ABC，BD⊥DC．

（1）求出sin∠DBC的值；

（2）若AD=2，把∠BOC绕点O顺时针旋转（），交AB于点M，交BC于点N（如图），求证：四边形OMBN的面积为一个定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，根据题意可得，根据BD⊥DC可列出关于x的方程，即可求解；

（2）根据AD∥BC，推出，再结合BD平分∠ABC，即可得到，AB=AD，根据旋转性质得到从而证的，从而证的.

（1）设，

∵AB＝CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵BD平分∠ABC，

∴，

∴∠BCD=2∠CBD=2x，

，

，

解得：．

；

（2）证明：，

，

．

，

在△ONC和△OMB中，

，

．

∴，

由（1）可知，∠CBD=30°，

∴∠ACB=∠ACD=30°，

∴

，

即四边形OMBN的面积为一个定值，这个定值为．