精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图所示,直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).

(1)求直线BD和抛物线的解析式.

(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.

(3)在抛物线上是否存在点P,使SPBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)直线BD的解析式为:y=﹣x+3

抛物线的解析式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3

(2)满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)

(3)存在,理由见解析。

【解析】

(1)由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式

(2)首先确定MCD为等腰直角三角形,因为BND与MCD相似,所以BND也是等腰直角三角形.如答图1所示,符合条件的点N有3个

(3)如答图2、答图3所示,解题关键是求出PBD面积的表达式,然后根据SPBD=6的已知条件,列出一元二次方程求解

解:(1)直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,

A(﹣1,0),B(0,3)。

AOB沿y轴翻折,点A落到点C,C(1,0)。

设直线BD的解析式为:y=kx+b,

点B(0,3),D(3,0)在直线BD上,

,解得

直线BD的解析式为:y=﹣x+3。

设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3),

点B(0,3)在抛物线上,3=a×(﹣1)×(﹣3),解得:a=1。

抛物线的解析式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3。

(2)抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1)。

直线BD:y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M,令x=2,得y=1,M(2,1)。

设对称轴与x轴交点为点F,则CF=FD=MN=1,

∴△MCD为等腰直角三角形。

以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似,∴△BND为等腰直角三角形。

如答图1所示:

(I)若BD为斜边,则易知此时直角顶点为原点O,

N1(0,0)。

(II)若BD为直角边,B为直角顶点,则点N在x轴负半轴上,

OB=OD=ON2=3,N2(﹣3,0)。

(III)若BD为直角边,D为直角顶点,则点N在y轴负半轴上,

OB=OD=ON3=3,N3(0,﹣3)。

满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)。

(3)存在,

假设存在点P,使SPBD=6,设点P坐标为(m,n),

(I)当点P位于直线BD上方时,如答图2所示,

过点P作PEx轴于点E,则PE=n,DE=m﹣3,

SPBD=S梯形PEOB﹣SBOD﹣SPDE

=(3+n)m﹣×3×3﹣(m﹣3)n=6,

化简得:m+n=7

P(m,n)在抛物线上,

n=m24m+3,代入式整理得:m23m﹣4=0,

解得:m1=4,m2=﹣1。

n1=3,n2=8。

P1(4,3),P2(﹣1,8)。

(II)当点P位于直线BD下方时,如答图3所示,

过点P作PEy轴于点E,

则PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n,

SPBD=S梯形PEOD+SBOD﹣SPBE=(3+m)(﹣n)+×3×3﹣(3﹣n)m=6,

化简得:m+n=﹣1

P(m,n)在抛物线上,n=m24m+3。

代入式整理得:m23m+4=0,=﹣7<0,此方程无解.

此时点P不存在。

综上所述,在抛物线上存在点P,使SPBD=6,点P的坐标为(4,3)或(﹣1,8)。

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为P点,已知OAP的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为2,在x轴上求一点M,使MA+MB最小.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】手机下载一个APP,缴纳一定数额的押金,就能以每小时0.51元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非共享单车莫属.共享单车为解决市民出行的最后一公里难题帮了大忙,人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时,随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷.某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场,一月底发现损坏率不低于10%,二月初又投入1200辆进入市场,使可使用的自行车达到7500辆.

(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆?

(2)二月份的损坏率达到20%,进入三月份,该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%,由于媒体的关注,毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论,三月份的损坏率下降a%,三月底可使用的自行车达到7752辆,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点AB以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程lcm)与时间ts)满足关系:t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm

1)甲运动4s后的路程是多少?

2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?

3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】为了解学生的艺术特长发展情况,某校音乐组决定围绕在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图解答下列问题:

(1)在这次调查中一共抽查了__________名学生,其中,喜欢舞蹈活动项目的人数占抽查总人数的百分比为__________,喜欢戏曲活动项目的人数是__________人;

(2)若在舞蹈、乐器、声乐、戏曲活动项目任选两项设立课外兴趣小组,请用列表或画树状图的方法求恰好选中舞蹈、声乐这两项活动的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,点A,B在反比例函数的图象上,点C,D在反比例函数的图象上,AC//BD//y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,OACABD的面积之和为,则k的值为(

A. 4 B. 3 C. 2 D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是边AB上的动点,过点DDEBCACE,过EEFABBCF,连结DF

(1)若点DAB的中点,证明:四边形DFEA是平行四边形

(2)若AC=8,BC=6,直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】对于同一锐角α有:sin2α+cos2α1,现锐角A满足sinA+cosA

试求:(1)sinAcosA的值;(2)sinAcosA的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.

(1)求证:BD=EC;

(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.

查看答案和解析>>

同步练习册答案