【题目】如图所示,直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).
(1)求直线BD和抛物线的解析式.
(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)直线BD的解析式为:y=﹣x+3。
抛物线的解析式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3。
(2)满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)。
(3)存在,理由见解析。
【解析】
(1)由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式。
(2)首先确定△MCD为等腰直角三角形,因为△BND与△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答图1所示,符合条件的点N有3个。
(3)如答图2、答图3所示,解题关键是求出△PBD面积的表达式,然后根据S△PBD=6的已知条件,列出一元二次方程求解。
解:(1)∵直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A(﹣1,0),B(0,3)。
∵把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,∴C(1,0)。
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
∵点B(0,3),D(3,0)在直线BD上,
∴,解得。
∴直线BD的解析式为:y=﹣x+3。
设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵点B(0,3)在抛物线上,∴3=a×(﹣1)×(﹣3),解得:a=1。
∴抛物线的解析式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3。
(2)∵抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1)。
直线BD:y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M,令x=2,得y=1,∴M(2,1)。
设对称轴与x轴交点为点F,则CF=FD=MN=1,
∴△MCD为等腰直角三角形。
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,∴△BND为等腰直角三角形。
如答图1所示:
(I)若BD为斜边,则易知此时直角顶点为原点O,
∴N1(0,0)。
(II)若BD为直角边,B为直角顶点,则点N在x轴负半轴上,
∵OB=OD=ON2=3,∴N2(﹣3,0)。
(III)若BD为直角边,D为直角顶点,则点N在y轴负半轴上,
∵OB=OD=ON3=3,∴N3(0,﹣3)。
∴满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)。
(3)存在,
假设存在点P,使S△PBD=6,设点P坐标为(m,n),
(I)当点P位于直线BD上方时,如答图2所示,
过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=n,DE=m﹣3,
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE
=(3+n)m﹣×3×3﹣(m﹣3)n=6,
化简得:m+n=7 ①。
∵P(m,n)在抛物线上,
∴n=m2﹣4m+3,代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,
解得:m1=4,m2=﹣1。
∴n1=3,n2=8。
∴P1(4,3),P2(﹣1,8)。
(II)当点P位于直线BD下方时,如答图3所示,
过点P作PE⊥y轴于点E,
则PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n,
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=(3+m)(﹣n)+×3×3﹣(3﹣n)m=6,
化简得:m+n=﹣1 ②。
∵P(m,n)在抛物线上,∴n=m2﹣4m+3。
代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程无解.
∴此时点P不存在。
综上所述,在抛物线上存在点P,使S△PBD=6,点P的坐标为(4,3)或(﹣1,8)。
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【题目】已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为P点,已知△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为2,在x轴上求一点M,使MA+MB最小.
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【题目】手机下载一个APP,缴纳一定数额的押金,就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…最近的网红非“共享单车”莫属.共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙,人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时,随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷.某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场,一月底发现损坏率不低于10%,二月初又投入1200辆进入市场,使可使用的自行车达到7500辆.
(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆?
(2)二月份的损坏率达到20%,进入三月份,该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%,由于媒体的关注,毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论,三月份的损坏率下降a%,三月底可使用的自行车达到7752辆,求a的值.
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【题目】某校为培育青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
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【题目】为了解学生的艺术特长发展情况,某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽查了__________名学生,其中,喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为__________,喜欢“戏曲”活动项目的人数是__________人;
(2)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组,请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数的图象上,点C,D在反比例函数的图象上,AC//BD//y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是边AB上的动点,过点D作DE∥BC交AC于E,过E作EF∥AB交BC于F,连结DF.
(1)若点D是AB的中点,证明:四边形DFEA是平行四边形;
(2)若AC=8,BC=6,直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长.
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【题目】对于同一锐角α有:sin2α+cos2α=1,现锐角A满足sinA+cosA=.
试求:(1)sinAcosA的值;(2)sinA﹣cosA的值.
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【题目】如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
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