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【题目】在平面直角坐标系xoy中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 ABx轴上,直角顶点Cy轴正半轴上,已知点A(-10).

1)请直接写出点BC的坐标:B )、C );并求经过ABC三点的抛物

线解析式;

2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段

AB上(点E是不与AB两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C 此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M

①设AE=x,当x为何值时,OCE∽△OBC

②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形,若存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1B30),C0),2)①x=2②存在P点坐标为(12)或(1—2)或(12)或(1

【解析】

解:(1B30),C0)。

A—10B30

∴可设过ABC三点的抛物线为

又∵C0)在抛物线上,∴,解得

∴经过ABC三点的抛物线解析式

2)①当OCE∽△OBC时,则

OC= OE=AE—AO=x1 OB=3,∴。∴x=2

∴当x=2时,OCE∽△OBC

②存在点P

由①可知x=2,∴OE=1。∴E10)。 此时,CAE为等边三角形。

∴∠AEC=A=60°

又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60°

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。

C0),∴M2)。

MMNx轴于点N20),

MN= EN=1

PEM为等腰三角形,则:

)EP=EM, EM=2,且点P在直线x=1上,∴P(12)P1,-2)。

ⅱ)当EM=PM时,点MEP的垂直平分线上,∴P(12)

ⅲ)当PE=PM时,点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点,∴P(1)

∴综上所述,存在P点坐标为(12)或(1—2)或(12)或(1)时,

EPM为等腰三角形。

1)由已知,根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OCAB的长,从而求得点BC的坐标。设定交点式,用待定系数法,求得抛物线解析式。

2)①根据相似三角形的性质,对应边成比例列式求解。

②求得EM的长,分EP=EM EM=PMPE=PM三种情况求解即可。

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