【题目】在平面直角坐标系xoy中, 一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边 AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(-1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:B( , )、C( , );并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段
AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C. 此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形,若存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)B(3,0),C(0,),(2)①x=2②存在P点坐标为(1,2)或(1,—2)或(1,2)或(1,)
【解析】
解:(1)B(3,0),C(0,)。
∵A(—1,0)B(3,0)
∴可设过A、B、C三点的抛物线为。
又∵C(0,)在抛物线上,∴,解得。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式即。
(2)①当△OCE∽△OBC时,则。
∵OC=, OE=AE—AO=x-1, OB=3,∴。∴x=2。
∴当x=2时,△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2,∴OE=1。∴E(1,0)。 此时,△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°, ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。
∵C(0,),∴M(2,)。
过M作MN⊥x轴于点N(2,0),
∴MN=。 ∴ EN=1。
∴。
若△PEM为等腰三角形,则:
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2,且点P在直线x=1上,∴P(1,2)或P(1,-2)。
ⅱ)当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上,∴P(1,2) 。
ⅲ)当PE=PM时,点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点,∴P(1,)
∴综上所述,存在P点坐标为(1,2)或(1,—2)或(1,2)或(1,)时,
△EPM为等腰三角形。
(1)由已知,根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长,从而求得点B、C的坐标。设定交点式,用待定系数法,求得抛物线解析式。
(2)①根据相似三角形的性质,对应边成比例列式求解。
②求得EM的长,分EP=EM, EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,把△ABD沿AD折叠后,使得点B落在点E处,连接CE,若∠DBE=15°,则∠ADC的度数为________
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【题目】小明做“用频率估计概率”的试验时,根据统计结果,绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 任意买一张电影票,座位号是2的倍数的概率
B. 一副去掉大小王的扑克牌,洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正方体骰子,落下后朝上的面点数是3
D. 一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球,它们除了颜色外都相同,从中抽到黑球
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【题目】随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识
的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,
并将检查结果绘制成下面两个统计图.
(1)本次调查的学生共有__________人,估计该校1200 名学生中“不了解”的人数是__________人.
(2)“非常了解”的4 人有两名男生, 两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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【题目】如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,连接AC、FC.
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,点D是AB的中点,过点B作CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值。
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心,线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF, 经过点C,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
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【题目】若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
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