Question

16．使$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（8-x）^{2}+16}$取最小值的实数x的值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得出AC，CE的长进而得出用含x的代数式表示AC+CE的长；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理即可求得$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（8-x）^{2}+16}$=10，由AB∥ED，得出$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AB}{DE}$，得出$\frac{8-x}{x}$=$\frac{4}{2}$，解方程求得x的值即可．．

解答 解：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=4，DE=2，BD=8，设CD=x．
∵CD=x，BD=8，
∴CB=8-x，
CE+AC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（8-x）^{2}+16}$，
A、C、E在同一直线上，CE+AC最小；
当A、C、E在同一直线上时，
延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB=4，DE=2，
∴AF=6，
∵∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵∠BDE=∠BFE=90°，
∴四边形BFED是矩形，
∴BD=EF=8，
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（8-x）^{2}+16}$的最小值为10，
∵AB∥ED，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AB}{DE}$，即$\frac{8-x}{x}$=$\frac{4}{2}$，
解得x=$\frac{8}{3}$；
故答案为$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了最短路线问题，解方程以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．