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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+ (m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值;
(2)先作y=x2﹣(m+1)x+ (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2﹣4n的最大值和最小值.

【答案】
(1)解:对于一元二次方程x2﹣(m+1)x+ (m2+1)=0,

△=(m+1)2﹣2(m2+1)=﹣m2+2m﹣1=﹣(m﹣1)2

∵方程有实数根,

∴﹣(m﹣1)2≥0,

∴m=1.


(2)解:由(1)可知y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2

图象如图所示:

平移后的解析式为y=﹣(x+2)2+2=﹣x2﹣4x﹣2.


(3)解:由 消去y得到x2+6x+n+2=0,

由题意△≥0,

∴36﹣4n﹣8≥0,

∴n≤7,

∵n≤m,m=1,

∴1≤n≤7,

令y′=n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,

∴n=2时,y′的值最小,最小值为﹣4,

n=7时,y′的值最大,最大值为21,

∴n2﹣4n的最大值为21,最小值为﹣4.


【解析】(1)由题意△≥0,列出不等式,解不等式即可;(2)画出翻折.平移后的图象,根据顶点坐标即可写出函数的解析式;(3)首先确定n的取值范围,利用二次函数的性质即可解决问题;
【考点精析】掌握求根公式和二次函数图象的平移是解答本题的根本,需要知道根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根;平移步骤:(1)配方 y=a(x-h)2+k,确定顶点(h,k)(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减.

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