【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(Ⅰ)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(Ⅱ)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(Ⅲ)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.
【答案】解:(Ⅰ)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+6,
∵y=﹣ x2+2x+6=﹣
(x﹣2)2+8,
∴D(2,8);
(Ⅱ)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,
设F(x,﹣ x2+2x+6),则FG=|﹣
x2+2x+6|,
∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,
∴△FBG∽△BDE,
∴ =
,
∵B(6,0),D(2,8),
∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,
∴BG=6﹣x,
∴ =
,
当点F在x轴上方时,有 =
,解得x=﹣1或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣1,
);
当点F在x轴下方时,有 =﹣
,解得x=﹣3或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣3,﹣
);
综上可知F点的坐标为(﹣1, )或(﹣3,﹣
);
(Ⅲ)如图2,设对称轴MN、PQ交于点O′,
∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ为正方形,
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上,
设Q(2,2n),则M坐标为(2﹣n,n),
∵点M在抛物线y=﹣ x2+2x+6的图象上,
∴n=﹣ (2﹣n)2+2(2﹣n)+6,解得n=﹣1+
或n=﹣1﹣
,
∴满足条件的点Q有两个,其坐标分别为(2,﹣2+2 )或(2,﹣2﹣2
).
【解析】(Ⅰ)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式,再求其顶点D即可;
(Ⅱ)过F作FG⊥x轴于点G,可设出F点坐标,利用△FBG∽△BDE,由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程,可求得F点的坐标;
(Ⅲ)由于M、N两点关于对称轴对称,可知点P为对称轴与x轴的交点,点Q在对称轴上,可设出Q点的坐标,则可表示出M的坐标,代入抛物线解析式可求得Q点的坐标.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系).根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
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【题目】在大课间活动中,同学们积极参加体育锻炼.小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试,并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图(从左到右依次分为六个小组,每小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图,若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀,全校共有1200名学生,根据图中提供的信息,下列说法不正确的是( )
A.第四小组有10人B.本次抽样调查的样本容量为50
C.该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为480人D.第五小组对应圆心角的度数为
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【题目】为了创设全新的校园文化氛围,进一步组织学生开展课外阅读,让学生在丰富多彩的书海中,扩大知识源,亲近母语,提高文学素养.某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动,活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型(只写一项)”的随机抽样调查,相关数据统计如下:
请根据以上信息解答下列问题:
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查?
(2)请将图1和图2补充完整:并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数.
(3)已知该校共有学生1600人,利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说人数约为多少人?
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【题目】已知点,试分别根据下列条件,求出点
的坐标.
(1)点在
轴上;
(2)点的横坐标比纵坐标大2;
(3)点在过
,且与
轴平行的直线上.
(4)点在到两个坐标轴的距离相等.
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【题目】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.
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【题目】如图,AB∥CD,∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H,∠K﹣∠H=27°,则∠K=________
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【题目】如图,直线CD与EF相交于点O,∠COE=60°,将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合,OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度数;
(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转,同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转,设运动时间为t秒(0≤t≤40).
①当t为何值时,直线EF平分∠AOB;
②若直线EF平分∠BOD,直接写出t的值.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+ (m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值;
(2)先作y=x2﹣(m+1)x+ (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2﹣4n的最大值和最小值.
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