Question

11．如图，O是Rt△ABC斜边上的中点，将△ABC绕点O旋转至△DEF位置，对应边DF与AC交于点M，对应边EF与BC交于点N．求证：0M⊥0N．

Answer 1

分析 连接AD，CF，OC，OF，根据直角三角形的性质得到OA=OD=0=OC=OF，由等腰三角形的性质得到∠1=∠3，∠2=∠4，根据旋转的性质得到AOD=∠COF，∠1=∠2，求得∠1=∠2=∠3=∠4，推出△AOD≌△COF，根据全等三角形的性质得到∠OAD=∠OFC，得到∠7=∠8，通过△ADM≌△CFM，得到DM=CM，推出△DOM≌△COM，根据全等三角形的性质得到∠DOM=∠COM，同理∠FON=∠BON，即可得到结论．

解答 证明：连接AD，CF，OC，OF，
∵∠ACB=∠DFE=90°，O是Rt△ABC斜边上的中点，
∴OA=OD=0=OC=OF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵将△ABC绕点O旋转至△DEF位置，
∴∠AOD=∠COF，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
在△AOD与△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{∠AOD=∠COF}\\{OD=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COF，
∴∠OAD=∠OFC，AD=CF，
∴∠1+∠7=∠4+∠8，
∴∠7=∠8，
在△ADM与△FCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠7=∠8}\\{∠5=∠6}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CFM，
∴DM=CM，
在△DOM与△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠2=∠3}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DOM≌△COM，
∴∠DOM=∠COM，同理∠FON=∠BON，
∴∠MON=∠COF+∠COM+∠FON=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴OM⊥ON．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．