Question

5．已知：△ABC是等边三角形，点E在边AC上，点D在边BC上，且AE=CD，连接AD、BE相交于点G，过点B作BF⊥AD，垂足为F．
（1）如图1，求证：EG+2GF=AD；
（2）如图2，△ABG和△MBG关于直线BG对称（点A的对称点是点M），BM与AD相交于点N，若EG：GN=1：2，AG=3，求GN的长．

Answer 1

分析 （1）易证△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠CAD，AD=BG，根据等量代换得到∠BGF=60°，∠GBF=30°，所以BG=2GF，所以AD=BE=BG+GE=2GF+GE；
（2）易证△AGE∽△BGN，得到$\frac{BG}{AG}$=$\frac{GN}{GE}$=2，求出BG，GF，运用勾股定理求出AB=AC=$\sqrt{63}$，易证△AGE∽ADC，则$\frac{AE}{AD}=\frac{AG}{AC}=\frac{GE}{CD}$，列关于GE的方程求出GE，即可求出GN．

解答 解：（1）在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABC=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
∵∠CAD+∠BAG=60°，
∴∠BGF=∠BAG+∠ABE=60°，
∴∠GBF=30°，
∴BG=2GF，
∵BE=BG+GE=2GF+GE，
∴AD=2GF+GE；
（2）∵△ABG和△MBG关于直线BG对称，
∴∠ABE=∠MBE，
∵∠ABE=∠CAD，
∴∠CAD=∠MBE，
∵∠BGN=∠AGE，
∴△AGE∽△BGN，
∴$\frac{BG}{AG}$=$\frac{GN}{GE}$=2，
∴BG=6，
∵∠BGF=60°，
∴BF=3$\sqrt{3}$，FG=3，
∴AB=AC=$\sqrt{B{F}^{2+}A{F}^{2}}$=$\sqrt{63}$，
∵∠AGE=∠C=60°
∴△AGE∽ADC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AG}{AC}=\frac{GE}{CD}$，
∵AD=BE=BG+GE=6+GE，AE=CD，AG=3，
∴$\frac{AE}{6+GE}=\frac{3}{\sqrt{63}}=\frac{GE}{AE}$，
解得：GE=1，
∴GN=2．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称以及勾股定理的综合运用，根据△AGE∽△BGN和△AGE∽△ADC，得到比例式求出线段长是解决第2小题的关键．