Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F，与CD的延长线交于点G，连接BG，且BE＝BC，BG＝5，∠BGF＝45°，EG＝3，若点M是线段BF上的一个动点，将△MEF沿ME所在直线翻折得到△MEF′，连接CF′，则CF′长度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

连接CE，易知当点F′落在线段CE上时，线段CF′的长度最小，在△BGF中，EF⊥AB，∠BGF＝45°，BG＝5，可得BF＝FG＝5，FE＝2，由勾股定理可得，BE＝，由平行四边形ABCD可得，AD∥BC，又因为BE⊥AD，推出BE⊥BC，继而推出△BCE是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出CE，根据翻折的性质可得EF′＝EF，最后由CF′＝CE－EF′即可求解．

解：如图所示，连接CE，易知当点F′落在线段CE上时，线段CF′的长度最小，

∵EF⊥AB，BGF＝45°，BG＝5，

∴△BGF是等腰直角三角形，BF＝FG＝5，

∵EG＝3，

∴FE＝FG－ EG＝5－3＝2，

由勾股定理得，BE＝＝＝，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC

又∵BE⊥AD， BE＝BC

∴BE⊥BC

∴△BCE是等腰直角三角形，

由勾股定理得，CE＝＝，

根据翻折的性质可得：EF′＝EF＝2，

∴CF′＝CE－EF′＝－2

故答案为：－2