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【题目】如图,在钝角△ABC中,点D是BC的中点,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,M、N分别为AB、AC的中点,连接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN.求证:

(1)△EMD≌△DNF;

(2)△EMD∽△EAF;

(3)DE⊥DF.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析

【解析】

试题分析:(1)首先根据D是BC中点,N是AC中点N,可得DN是△ABC的中位线,判断出DN=AC;然后判断出EM=AB,再通过证明四边形AMDN是平行四边形,可得∠AMD=∠AND,进而可证明∠EMD=∠DNF,由全等三角形的判定方法即可证明△EMD≌△DNF;

(2)首先计算出EM:EA的值,DM和AF的数量关系以及证明∠EMD=∠EAF,再根据相似三角形判定的方法,判断出△EMD∽△∠EAF;

(3)由(2)可知△EMD∽△EAF,即可判断出∠MED=∠AEF,然后根据∠MED+∠AED=45°,判断出∠DEF=45°,再根据DE=DF,判断出∠DFE=45°,∠EDF=90°,即可判断出DE⊥DF.

试题解析:(1)∵D是BC中点,M是AB中点,N是AC中点,∴DM、DN都是△ABC的中位线,∴DM∥AC,且DM=AC;DN∥AB,且DN=AB;

∵△ABE是等腰直角三角形,M是AB的中点,∴EM平分∠AEB,EM=AB,∴EM=DN,同理:DM=FN,∵DM∥AC,DN∥AB,∴四边形AMDN是平行四边形,∴∠AMD=∠AND,又∵∠EMA=∠FNA=90°,∴∠EMD=∠DNF,在△EMD和△DNF中,EM=DN,EMD=DNF,MD=NF,∴△EMD≌△DNF;

(2)∵三角形ABE是等腰直角三角形,M是AB的中点,∴EM平分∠AEB,EM⊥AB,∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,∴=sin45°=,∵D是BC中点,M是AB中点,∴DM是△ABC的中位线,∴DM∥AC,且DM=AC;

∵△ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,∴FN=AC,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,又∵DM=AC,∴DM=FN=FA,∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣(180°﹣∠AMD)=90°+∠AMD,∴∠EMD=∠EAF,在△EMD和△∠EAF中,EMD=EAF,∴△EMD∽△∠EAF;

(3)∵△EMD∽△∠EAF,∴∠MED=∠AEF,∵∠MED+∠AED=45°,∴∠AED+∠AEF=45°,即∠DEF=45°,又∵△EMD≌△DNF,∴DE=DF,∴∠DFE=45°,∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°,∴DE⊥DF.

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