【题目】如图,在钝角△ABC中,点D是BC的中点,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,M、N分别为AB、AC的中点,连接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN.求证:
(1)△EMD≌△DNF;
(2)△EMD∽△EAF;
(3)DE⊥DF.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)首先根据D是BC中点,N是AC中点N,可得DN是△ABC的中位线,判断出DN=AC;然后判断出EM=AB,再通过证明四边形AMDN是平行四边形,可得∠AMD=∠AND,进而可证明∠EMD=∠DNF,由全等三角形的判定方法即可证明△EMD≌△DNF;
(2)首先计算出EM:EA的值,DM和AF的数量关系以及证明∠EMD=∠EAF,再根据相似三角形判定的方法,判断出△EMD∽△∠EAF;
(3)由(2)可知△EMD∽△EAF,即可判断出∠MED=∠AEF,然后根据∠MED+∠AED=45°,判断出∠DEF=45°,再根据DE=DF,判断出∠DFE=45°,∠EDF=90°,即可判断出DE⊥DF.
试题解析:(1)∵D是BC中点,M是AB中点,N是AC中点,∴DM、DN都是△ABC的中位线,∴DM∥AC,且DM=AC;DN∥AB,且DN=AB;
∵△ABE是等腰直角三角形,M是AB的中点,∴EM平分∠AEB,EM=AB,∴EM=DN,同理:DM=FN,∵DM∥AC,DN∥AB,∴四边形AMDN是平行四边形,∴∠AMD=∠AND,又∵∠EMA=∠FNA=90°,∴∠EMD=∠DNF,在△EMD和△DNF中,∵EM=DN,∠EMD=∠DNF,MD=NF,∴△EMD≌△DNF;
(2)∵三角形ABE是等腰直角三角形,M是AB的中点,∴EM平分∠AEB,EM⊥AB,∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,∴=sin45°=,∵D是BC中点,M是AB中点,∴DM是△ABC的中位线,∴DM∥AC,且DM=AC;
∵△ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,∴FN=AC,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,又∵DM=AC,∴DM=FN=FA,∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣(180°﹣∠AMD)=90°+∠AMD,∴∠EMD=∠EAF,在△EMD和△∠EAF中,∵,∠EMD=∠EAF,∴△EMD∽△∠EAF;
(3)∵△EMD∽△∠EAF,∴∠MED=∠AEF,∵∠MED+∠AED=45°,∴∠AED+∠AEF=45°,即∠DEF=45°,又∵△EMD≌△DNF,∴DE=DF,∴∠DFE=45°,∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°,∴DE⊥DF.
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【题目】如图等边△ABC边长为1cm,D、E分别是AB、AC上两点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在A’处,A在△ABC外,则阴影部分图形周长为( )
A.1cm
B.1.5cm
C.2cm
D.3cm
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【题目】如图,在ABCD中,已知AD>AB.
(1)实践与操作:作∠BAD的平分线交BC于点E,在AD上截取AF=AB,连接EF;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给予证明.
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【题目】某小区有一块面积为196m2的正方形空地,开发商计划在此空地上建一个面积为100m2的长方形花坛,使长方形的长是宽的2倍.请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望?(参考数据: ≈1.414, ≈7.070)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以点B(0,8)为端点的射线BG∥x轴,点A是射线BG上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AG上取AD=OB,作线段AD的垂直平分线,垂足为E,且与x轴交于点F,过点A作AC⊥OA,交射线EF于点C.连接OC、CD,设点A的横坐标为t.
(1)用含t的式子表示点E的坐标为_______;
(2)当t为何值时,∠OCD=180°?
(3)当点C与点F不重合时,设△OCF的面积为S,求S与t之间的函数解析式.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.
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【题目】如图所示,△ABC中,AH⊥BC于H,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形EDHF是( )
A.一般梯形
B.等腰梯形
C.直角梯形
D.直角等腰梯形
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