Question

19．如图，已知二次函数的解析式为y=x²-1，其图象上有一个动点P，连接OP（O为坐标原点），并以OP为半径作圆，则该圆的最小面积是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$π
• B． $\frac{3}{4}$π
• C． π
• D． $\frac{9}{16}$π

Answer 1

分析 设OP=r，则圆O的方程为x²+y²=r²，当r取最小值时，该圆的面积最小，此时y有唯一解．将x²=r²-y²代入y=x²-1，得到关于y的一元二次方程，由△=0求出r²的值，进而求解即可．

解答 解：设OP=r，则圆O的方程为x²+y²=r²，当r取最小值时，该圆的面积最小，此时y有唯一解．
∵x²+y²=r²，
∴x²=r²-y²，
将x²=r²-y²代入y=x²-1，得y=r²-y²-1，
整理得y²+y+1-r²=0，
∵△=1²-4（1-r²）=0，
解得r²=$\frac{3}{4}$，
∴该圆的最小面积是πr²=$\frac{3}{4}$π，
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，有一定难度．理解圆O的方程x²+y²=r²中，当r取最小值时y有唯一解是解题的关键．