Question

【题目】如图，已知抛物线过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）E（﹣2，1）或（， ）或（， ）．

【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B'D，B'D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值．

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是交大的纵坐标间距坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（4）设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．

试题解析：解：（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得： ，解得： ，抛物线的解析式为： ．

（2）配方，得，顶点D的坐标为（﹣1，4）．作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1，则B′（4，3），由（1）得D（﹣1，4），可求出直线DB′的函数关系式为，当M（1，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m==．

（3）作PE⊥x轴交AC于E点，如图2，AC的解析式为y=x+3，设P（m， ），E（m，m+3），PE==，S△APC=PE|xA|=（）×3=，当m=﹣时，△APC的面积的最大值是；

（4）由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2），点E在直线AC上，设E（x，x+3）：

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），则点E的坐标为：（﹣2，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=或x=，即点E的坐标为：（， ）或（， ）．

综上所述：满足条件的点E坐标为E（﹣2，1）或（， ）或（， ）．