Question

如图，直线l：y=4-2x与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点M（1，2），已知直线m经过点C（-1，0），且与y轴交于点D．
（1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式；
（2）求四边形OAMD的面积；
（3）若P是直线m上一动点，试求OP+AP的最小值；
（4）若点N在x轴上，且△OMN是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在解析式y=4-2x中令x=0，求得y的值即可求得与y轴的交点坐标，令y=0，求得x的值，即可得到与x轴的交点的坐标，利用待定系数法求得直线m的解析式；
（2）首先求得M的坐标，作MN⊥x轴于点E，根据四边形OAMD的面积=S_△AME+S_梯形DOEM即可求解；
（3）首先求得O关于直线m的对称点的坐标，则此点与A之间的线段的长度就是所求的OP+AP的最小值；
（4）分O是顶角顶点，M是顶角顶点，N是顶角顶点三种情况进行讨论，根据等腰三角形的定义即可求解．

解答：解：（1）在y=4-2x中，令x=0，解得：y=4，则B的坐标是（0，4），
令y=0，则4-2x=0，解得：x=2，则A的坐标是（2，0）．
设直线m的解析式是y=kx+b，
则

k+b=2 -k+b=0

，
解得：

k=1 b=1

．
则直线m的方程是y=x+1；
（2）解方程组

y=x+1 y=4-2x

，
解得：

x=1 y=2

，
则M的坐标是（1，2），
作MN⊥x轴于点E，则E的坐标是（1，0），则ME=2，AE=2-1=1．
则S_△AME=

1

2

×1×2=1，S_梯形DOEM=

1

2

（1+2）×1=

3

2

，
则S_{四边形OAMD}=1+

3

2

=

5

2

；
（3）经过O且与直线m垂直的直线的解析式是：y=-x，
根据题意得：

y=-x y=x+1

，
解得：

x=- 1 2 y= 1 2

，
则直线y=-x和直线m的交点坐标是（-

1

2

，

1

2

），设O关于直线m的对称点的坐标是（m，n），
则

m 2 =- 1 2 n 2 = 1 2

，
解得：

m=-1 n=1

，即O关于直线m的对称点坐标是（-1，1）．
则OP+AP最小值是：

(2+1)2+12

=

10

；
（4）OM=

12+22

=

5

，
当O是顶角顶点时，N的坐标是（-

10

，0）或（

10

，0）；
当M是顶角顶点时，ME是O和N的对称轴，则N的坐标是（2，0）；
当N是顶角顶点时，OM的中点坐标是（

1

2

，1），设直线OM的解析式是y=ax，则把（1，2）代入解析式得：a=2，即解析式是y=2x，
则经过OM的中点，且与OM垂直的直线的解析式是y=-

1

2

x+b，则-

1

2

×

1

2

+b=1，
解得：b=

5

4

，则直线的解析式是：y=-

1

2

x+

5

4

，令y=0，解得：x=

5

2

，则N的坐标是（

5

2

，0）．
总之，N的坐标是：（-

10

，0）或（

10

，0）或（2，0）或（

5

2

，0）．

点评：本题是一次函数与等腰三角形的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及等腰三角形的计算，正确进行讨论是关键．