Question

如图，△ACO为等腰直角三角形．

（1）若C（-1，3），求A点坐标；
（2）过A作AE⊥AC，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数；
（3）当△ACO绕点O旋转时，过C作CN⊥y轴，M为AO的中点，∠MNO的大小是否发生变化？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作CD⊥y轴，AB⊥DC延长线于点B，即可求证△ABC≌△CDO，可得BC=OD，AB=CD，即可解题；
（2）易求得直线AE和直线AC的解析式，即可求得E点坐标，根据∠FEO=∠COE可求得直线EF解析式，即可求得F点坐标，即可求得tan∠FOE的值，即可解题；
（3）不变，证明：作MK⊥ON于K点，MF⊥NC于F点，连接MC，即可证△FMC≌△KMO，可得四边形MKNF为正方形，根据正方形对角线即角平分线的性质即可解题．

解答：解：（1）作CD⊥y轴，AB⊥DC延长线于点B，

∵∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCO=90°，
∴∠BAC=∠DCO，
在△ABC和△CDO中，

∠ABC=∠CDO=90° ∠BAC=∠DCO AC=CO

，
∴△ABC≌△CDO（AAS），
∴BC=OD=3，AB=CD=1，
∴A点坐标（-4，2）；
（2）∵AE⊥AC，CO⊥AC，
∴AE∥CO，
设直线AE解析式为y=-3x+b，
代入A点得：y=-3x-10，
∴点E坐标为（-

10

3

，0），
∵∠FEO=∠COE，
∴设直线EF解析式为y=3x+b，
代入E点得：直线EF解析式为y=3x+10，
∵直线AC解析式为y=

1

3

x+

10

3

，设直线EF与AC交点坐标为（x，y），
则满足

y=3x+10 y= 1 3 x+ 10 3

，
解得：x=

5

2

，y=

5

2

．
∴tan∠EOF=1，
∴∠EOF=45°；
（3）不变，理由如下：作MK⊥ON于K点，MF⊥NC于F点，连接MC，

∵∠MFC=∠CNO=∠MKN=90°，
∴∠FMK=90°，四边形MKNF为矩形，
∵AC=CO，M是AO中点，
∴∠CMO=90°，CM=MO，
∵∠CMO=∠CMK+∠KMO，∠FMK=∠FMC+∠CMK，
∴∠KMO=∠FMC，
在△FMC和△KMO中，

∠MFC=∠MKO=90° ∠FMC=∠KMO MC=MO

，
∴△FMC≌△KMO（AAS），
∴FM=MK，
∴矩形MKNF为正方形，
∴∠MNO=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正方形对角线即角平分线的性质，本题中求证△FMC≌△KMO是解题的关键．