Question

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BO，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，求四边形BOFG的周长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BGFO是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=

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AC，然后求出OB=OF，判断出四边形BOFG是菱形，设GF=x，表示出AF、AC，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．

解答：解：∵AF∥BD，FG=BO，
∴四边形BGFO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=

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2

AC，
∵CE⊥BD，AF∥BD，
∴CF⊥AF，
∴OF=

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2

AC，
∴OB=OF，
∴四边形BOFG是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2OF=2x，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，AF²+CF²=AC²，
即（13-x）²+6²=（2x）²，
整理得，3x²+26x-205=0，
解得x₁=5，x₂=-

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（舍去），
∴GF=5，
四边形BOFG的周长=4×5=20．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．