Question

13．已知点A为反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象上的任一点，过点A的直线与双曲线（第一象限图象）只有一个交点，则该直线与坐标轴围成的三角形面积是（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 18
• D． 24

Answer 1

分析 设A点横坐标为a，可得A点坐标（a，$\frac{6}{a}$），再设过点A的直线l的解析式为y=bx+c，根据条件“过点A的直线与双曲线（第一象限图象）只有一个交点”，将A点坐标代入直线l的解析式，得到方程bx+$\frac{6}{a}$-ab=$\frac{6}{x}$，即bx²+（$\frac{6}{a}$-ab）x-6=0有两个相等的实根，那么b=-$\frac{6}{{a}^{2}}$，c=$\frac{12}{a}$，即直线l的解析式为y=-$\frac{6}{{a}^{2}}$x+$\frac{12}{a}$．再求出直线l与两坐标轴的交点，进而求解即可．

解答 解：设点A的坐标为（a，$\frac{6}{a}$），其中a＞0．过点A的直线l的解析式为y=bx+c，
则ab+c=$\frac{6}{a}$，即c=$\frac{6}{a}$-ab，那么y=bx+$\frac{6}{a}$-ab．
∵直线y=bx+$\frac{6}{a}$-ab与双曲线y=$\frac{6}{x}$只有一个交点，
∴方程bx+$\frac{6}{a}$-ab=$\frac{6}{x}$，即bx²+（$\frac{6}{a}$-ab）x-6=0有两个相等的实根，
∴（$\frac{6}{a}$-ab）²+24b=（$\frac{6}{a}$+ab）²=0．
∴$\frac{6}{a}$=-ab．
∴b=-$\frac{6}{{a}^{2}}$，c=$\frac{12}{a}$，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{6}{{a}^{2}}$x+$\frac{12}{a}$．
∴当x=0时，y=$\frac{12}{a}$；当y=0时，x=2a；
∴该直线与坐标轴围成的三角形面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{a}$×2a=12．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根的判别式，一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，有一定难度．设A点横坐标为a，用含a的式子表示过点A的直线l的解析式是解题的关键．