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【题目】如图,BDABCD的对角线,ADBDAB2cm,∠A45°.动点P从点B出发,以cm/s的速度沿BA运动到终点A,同时动点Q从点D出发,以2cm/s的速度沿折线DBBC向终点C运动,当一点到达终点时另一点也停止运动.过点QQEAD,交射线AD于点E,连接PQ,以PQEQ为边作PQEF.设点P的运动时间为ts),PQEFABCD重叠部分图形的面积为Scm2).

1AP   cm(用含的代数式表示);

2)当点F落在边AD上时,求t的值:

3)求St之间的函数关系式;

4)连接FQ,当FQ所在的直线将ABCD分成面积相等的两部分时,直接写出t的值.

【答案】(1)2t23S(4)tt

【解析】

1)先根据点P的运动速度和时间可得PB的长,从而得AP的长;
2)根据BQPQBDDQ,列方程可得结论;也可以根据平行四边形的性质可得PFQE,据此列出方程求出t的值即可;
3)分三种情况分别求出St的函数关系式即可:①当0t≤时,PQEFABCD重叠部分为矩形;②当t≤1时,PQEFABCD重叠部分为梯形;③当1t≤2时,PQEFABCD重叠部分为五边形.
4)当直线FQABCD分成面积相等的两部分时,则Q必在对角线BD中点或直线FQ经过对角线BD中点,据此解答即可.

解:(1)由题意得:PBt

∵AB2

∴APABPB2t

故答案为(2t);

2)如图1,当点F落在边AD上,

由题意得:DQ2tPBt

四边形PQEF是平行四边形,

∴PQ∥EF

∴∠BPQ∠A45°∠BQP∠ADB90°

∴PQBQt

∵△ADB是等腰直角三角形,且AB2

∴BD2

∴BQBDDQ22t

t22t

∴t

则当点F落在边AD上时,t的值秒;

3)分两种情况:

0t≤时,QBD上,如图1,过PPM⊥BDM,则△BPM是等腰直角三角形,

∵PBt

∴PMt

∴SDQPM2tt2t2

t≤1时,QBD上,如图3,过QQH⊥ABH

∵BQ22t

∴QH22t),

∵PF∥BD∠ADB90°

∴∠ANP90°

∵AP2t

∴ANPN2t

∴SSADBSANPSPBQt2+t

1t≤2时,如图4QBC上,

知:ANPN2t

∵EQ∥BDDE∥BQ

四边形BDEQ是平行四边形,∠DEQ90°

∴EQspan>BD2BQDE2t2

∵ENDN+DE2﹣(2t+2t2)=3t2

S=﹣t2+11t6

综上,St之间的函数关系式为:S

4)存在两种情况:

FQBD的中点O时,如图5,则OBOD1

∵∠DOM∠BOQ∠MDO∠OBQ

∴△MDO≌△QBOASA),

∴BQDMDE2t2

∴MNEN2DM=(3t2)﹣22t2)=2t

∵ANPN2t

∴FNt

∵∠NFM∠BOQ

∴tan∠NFMtan∠BOQ,即

2t2t20

t

QBD的中点上时,如图6,则2t1t

综上,t秒或t秒.

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