【题目】如图,BD是ABCD的对角线,AD⊥BD,AB=2cm,∠A=45°.动点P从点B出发,以cm/s的速度沿BA运动到终点A,同时动点Q从点D出发,以2cm/s的速度沿折线DB﹣BC向终点C运动,当一点到达终点时另一点也停止运动.过点Q作QE⊥AD,交射线AD于点E,连接PQ,以PQ与EQ为边作PQEF.设点P的运动时间为t(s),PQEF与ABCD重叠部分图形的面积为S(cm2).
(1)AP= cm(用含的代数式表示);
(2)当点F落在边AD上时,求t的值:
(3)求S与t之间的函数关系式;
(4)连接FQ,当FQ所在的直线将ABCD分成面积相等的两部分时,直接写出t的值.
【答案】(1)2﹣t(2)(3)S=(4)t=或t=
【解析】
(1)先根据点P的运动速度和时间可得PB的长,从而得AP的长;
(2)根据BQ=PQ=BDDQ,列方程可得结论;也可以根据平行四边形的性质可得PF=QE,据此列出方程求出t的值即可;
(3)分三种情况分别求出S与t的函数关系式即可:①当0<t≤时,PQEF与ABCD重叠部分为矩形;②当<t≤1时,PQEF与ABCD重叠部分为梯形;③当1<t≤2时,PQEF与ABCD重叠部分为五边形.
(4)当直线FQ将ABCD分成面积相等的两部分时,则Q必在对角线BD中点或直线FQ经过对角线BD中点,据此解答即可.
解:(1)由题意得:PB=t,
∵AB=2,
∴AP=AB﹣PB=2﹣t;
故答案为(2﹣t);
(2)如图1,当点F落在边AD上,
由题意得:DQ=2t,PB=t,
∵四边形PQEF是平行四边形,
∴PQ∥EF,
∴∠BPQ=∠A=45°,∠BQP=∠ADB=90°,
∴PQ=BQ=t,
∵△ADB是等腰直角三角形,且AB=2,
∴BD=2,
∴BQ=BD﹣DQ=2﹣2t,
即t=2﹣2t,
∴t=,
则当点F落在边AD上时,t的值秒;
(3)分两种情况:
①当0<t≤时,Q在BD上,如图1,过P作PM⊥BD于M,则△BPM是等腰直角三角形,
∵PB=t,
∴PM=t,
∴S=DQPM=2tt=2t2;
②当<t≤1时,Q在BD上,如图3,过Q作QH⊥AB于H,
∵BQ=2﹣2t,
∴QH=(2﹣2t),
∵PF∥BD,∠ADB=90°,
∴∠ANP=90°,
∵AP=2﹣t,
∴AN=PN=2﹣t,
∴S=S△ADB﹣S△ANP﹣S△PBQ=﹣=t2+t.
③当1<t≤2时,如图4,Q在BC上,
同②知:AN=PN=2﹣t,
∵EQ∥BD,DE∥BQ,
∴四边形BDEQ是平行四边形,∠DEQ=90°,
∴EQ=span>BD=2,BQ=DE=2t﹣2,
∵EN=DN+DE=2﹣(2﹣t)+(2t﹣2)=3t﹣2,
S=﹣=﹣=﹣t2+11t﹣6;
综上,S与t之间的函数关系式为:S=;
(4)存在两种情况:
①当FQ过BD的中点O时,如图5,则OB=OD=1,
∵∠DOM=∠BOQ,∠MDO=∠OBQ,
∴△MDO≌△QBO(ASA),
∴BQ=DM=DE=2t﹣2,
∴MN=EN﹣2DM=(3t﹣2)﹣2(2t﹣2)=2﹣t,
∵AN=PN=2﹣t,
∴FN=t,
∵∠NFM=∠BOQ,
∴tan∠NFM=tan∠BOQ,即,
∴,
2t2﹣t﹣2=0,
t=或;
②当Q在BD的中点上时,如图6,则2t=1,t=;
综上,t=秒或t=秒.
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【题目】如图1,抛物线y=a(x﹣h)2﹣9交x轴于A、B两点,交y轴于点C.
(1)若A(﹣2,0),当h=1时,
①求抛物线的解析式.
②平行x轴的直线y=t交抛物线于M、N点(点M在点N左侧),过M、N、C三点作⊙P.若MP⊥CP,求t值.
(2)如图2,当h=0时,正比例函数y=kx交抛物线于E、F两点,直线AE、BF相交于T点,求点T的运动轨迹.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,点O是斜边AB上一定点,到点O的距离等于OB的所有点组成图形W,图形W与AB,BC分别交于点D,E,连接AE,DE,∠AED=∠B.
(1)判断图形W与AE所在直线的公共点个数,并证明.
(2)若,,求OB.
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【题目】如图,已知在边长为4的菱形ABCD中,∠C=60°,E是BC边上一动点(与点B,C不重合).连接DE,作∠DEF=60°,交AB于点F,设CE=x,△FBE的面积为y.下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,在等腰中,,点E在AC上且不与点A、C重合,在的外部作等腰,使,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
请直接写出线段AF,AE的数量关系;
将绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,如图,连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系,并证明你的结论;
若,,在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中,当平行四边形ABFD为菱形时,直接写出线段AE的长度.
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【题目】在一幅长60 cm、宽40 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅长方形挂图,如图.如果要使整个挂图的面积是2816 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是( )
A. (60+2x)(40+2x)=2816
B. (60+x)(40+x)=2816
C. (60+2x)(40+x)=2816
D. (60+x)(40+2x)=2816
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【题目】“校园安全”越来越受到人们的关注,我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有______人,条形统计图中m的值为______;
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______;
(3)若该中学共有学生1800人,根据上述调查结果,可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人;
(4)若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
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