Question

10．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）经探究可知，S_△ABC：S_△ACD是一个定值，试求出这个比值（使用图1）；
（3）如图2，已知P是抛物线上的一个动点（P在第三象限内），设△APC的面积为S．当m=2时，求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OD，根据S_△ADC=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC求出△ADC面积即可解决问题．
（2）如图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（-3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-1）．
将点C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．
（2）如图1，连接OD．
∵y=mx²+2mx-3m=m（x+1）²-4m，
∴点D坐标（-1，-4m），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×4×3m=6m，
S_△ADC=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×3×4m+$\frac{1}{2}$×3m×1-$\frac{1}{2}$×3×3m=3m．
∴S_△ABC：S_△ADC=6m：3m=2：1．
（3）当m=2时，C（0，-6），抛物线解析式为y=2x²+4x-6，则P（x，2x²+4x-6）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-6．
如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，-2x-6）．
∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x²+4x-6）=-2x²-6x．
S=S_△PFA+S_△PFC=$\frac{1}{2}$PF•AE+$\frac{1}{2}$PF•OE=$\frac{1}{2}$PF•OA=$\frac{1}{2}$（-2x²-6x）×3
∴S=-3x²-9x=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
故S与x之间的关系式为S=-3x²-9x，
当x=-$\frac{3}{2}$时，S有最大值为$\frac{27}{4}$．

点评 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）（3）问重点考查了图形面积的计算方法．