Question

【题目】（1）如图，AB=4， O是以AB为直径的圆，以B为圆心，1为半径画弧与O交于点C，连接AC．请按下列要求回答问题：

①sinA等于____________；

②在线段AB上取一点E，当BE=______________时，连接CE，使线段CE与图中弦（不含直径）所夹角的正弦值等于；

（2）完成操作：仅用无刻度的直尺和圆规作一个直角三角形ABC，使A的正弦值

等于．（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）

Answer 1

【答案】（1）①;②或2;（2）见解析.

【解析】分析: （1）①根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°,再依据正弦的定义即可求出;

②题中不含直径的弦有BC和AC, 要满足线段CE与BC或AC所夹角的正弦值等于,即∠BCE=∠A或∠ACE=∠A,分情况即可求出;

（2）作等边三角形△PMN，以MN为直径作⊙O，过点N作NF⊥MN，作∠PMN的平分线交NF于H，作∠MHN的平分线HB交MN于B，则BM=HM=2BN，以N为圆心NB为半径作弧交⊙O于P，连接MP、PN，△PMN即为所求.

详解: （1）∵AB为直径,

∴∠ACB=90°

又∵AB=4,BC=1

∴sinA=.

故答案为: .

（2）∵sinA=,线段CE与图中弦所夹角的正弦值等于

∴∠BCE=∠A或∠ACE=∠A,

当∠BCE=∠A时, CE⊥AB,

∴sin∠BCE==

∴BE=,

当∠ACE=∠A时,CE=AE,则点O与点E重合,

∴BE=2.

综上,BE=或2.

(2)ABC即为所求.

点睛: 本题考查作图-应用与设计，圆的有关知识，等边三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型