Question

14．方程x²+2xy+3y²=81的整数解（x，y）的组数为8．

Answer 1

分析 首先将原方程变形为：（x+y）²+2y²=81，即可得x+y必须是奇数，然后设x+y=2t+1，可得新方程（2t+1）²+2y²=81，解此方程即可求得答案．

解答 解：x²+2xy+3y²=81，
方程变形得：（x+y）²+2y²=81，
∵81是奇数，2y²是偶数，
∴x+y必须是奇数，
设x+y=2t+1，
则原方程变为：（2t+1）²+2y²=81，
它的整数解为$\left\{\begin{array}{l}{2t+1=±7}\\{y=±4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2t+1=±3}\\{y=±6}\end{array}\right.$，
则当y=4，2t+1=7时，x=3；
当y=4，2t+1=-7时，x=-11；
当y=-4，2t+1=7时，x=11；
当y=-4，2t+1=-7时，x=-3；
当y=6，2t+1=3时，x=-3；
当y=6，2t+1=-3时，x=-9；
当y=-6，2t+1=3时，x=9；
当y=-6，2t+1=-3时，x=3；
∴方程x²+2xy+3y²=81的整数解（x，y）的组数为8组．
故答案为：8．

点评 此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：（x+y）²+2y²=81，由x+y必须是奇数，然后设x+y=2t+1，从而得新方程（2t+1）²+2y²=81．