Question

9．若α，β，γ是方程x³-x-1=0的根，求证：$\frac{α+1}{α-1}$+$\frac{β+1}{β-1}$+$\frac{γ+1}{γ-1}$=7．

Answer 1

分析 根据题意得到x³-x-1=（x-α）（x-β）（x-γ）有根，则可以根据多项式的有关结论进行解答．

解答 证明：∵α，β，γ是方程x³-x-1=0的根，
∴x³-x-1=（x-α）（x-β）（x-γ）有根，
∴α+β+γ=0，αβ+αγ+βγ=-1，αβγ=-1，
∴$\frac{α+1}{α-1}$+$\frac{β+1}{β-1}$+$\frac{γ+1}{γ-1}$
=-2（$\frac{1}{α-1}$+$\frac{1}{β-1}$+$\frac{1}{γ-1}$）+3，
=2×$\frac{3-2（α+β+γ）+（αβ+αγ+βγ）}{（α-1）（β-1）（γ-1）}$+3
=$\frac{4}{1-1+1}$+3
=7．
得证．

点评 本题考查了高次方程．通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．