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【题目】如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)顶点D的坐标为(1,4).(2)BCD为直角三角形.(3)符合条件的点有三个:O(0,0),,P2(9,0).

【解析】

试题分析:(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式,进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标.

(2)根据B、C、D的坐标,可求得BCD三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可.

(3)假设存在符合条件的P点;首先连接AC,根据A、C的坐标及(2)题所得BDC三边的比例关系,即可判断出点O符合P点的要求,因此以P、A、C为顶点的三角形也必与COA相似,那么分别过A、C作线段AC的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求,可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得OP的长,也就得到了点P的坐标.

试题解析:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

由抛物线与y轴交于点C(0,3),可知c=3,

即抛物线的解析式为y=ax2+bx3,

把A(1,0)、B(3,0)代入,

解得a=1,b=2.

抛物线的解析式为y=x22x3,

顶点D的坐标为(1,4).

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形,

理由如下:

过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.

在RtBOC中,OB=3,OC=3,

BC2=18,

在RtCDF中,DF=1,CF=OFOC=43=1,

CD2=2,

在RtBDE中,DE=4,BE=OBOE=31=2,

BD2=20,

BC2+CD2=BD2,故BCD为直角三角形.

(3)连接AC,则容易得出COA∽△CAP,又PCA∽△BCD,可知RtCOARtBCD,得符合条件的点为O(0,0).

过A作AP1AC交y轴正半轴于P1,可知RtCAP1RtCOARtBCD,

求得符合条件的点为

过C作CP2AC交x轴正半轴于P2,可知RtP2CARtCOARtBCD,

求得符合条件的点为P2(9,0).

符合条件的点有三个:O(0,0),,P2(9,0).

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