Question

【题目】如图，A，B两点在x轴的正半轴上运动，四边形ABCD是矩形，C，D两点在抛物线y=﹣x2+8x上．

（1）若OA=1，求矩形ABCD的周长；

（2）设OA=m（0＜m＜4），求出四边形ABCD的周长L关于m的函数表达式；

（3）在（2）的条件下求L的最大值．

Answer 1

【答案】（1）26；（2）L=﹣2m2+12m+16，（3）34．

【解析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，根据矩形的周长公式，可得答案

（2）求L与m的函数解析式就是把m当作已知量，求L，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用L=2（AD+CD），建立函数关系式．

（3）根据二次函数的性质，可得答案．

（1）当x=1时，y=-1+8=7，即AD=7，D点坐标为（1，7）．

当y=7时，-x2+8x=7，

解得x1=1，x2=7，

即AB=7-1=6，

矩形ABCD的周长=2（AD+AB）=2（7+6）=26；

（2）把x=m代入抛物线y=-x2+8x中，得AD=-m2+8m

把y=-m2+8m代入抛物线y=-m2+8m中，得

-m2+8m=-x2+8x

解得x1=m，x2=8-m

∴C的横坐标是8-m，故AB=8-m-m=8-2m

∴矩形的周长是L=2（-m2+8m）+2（8-2m）

即L=-2m2+12m+16．

（3）L=-2m2+12m+16化为顶点式，得

L=-2（m-3）2+34 （0＜m＜4），

当m=3时，L最大=34，

在（2）的条件下求L的最大值是34．